行列の掛け算の定理

 
 
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行列と連立１次方程式

【解説】
行列の掛け算はどういう演算に応用でき、どういう演算には応用できないかは、行列の掛け算の定理により定められます。
以下で、この行列の掛け算の定理を証明します。

 
（条件１）ベクトルＤが、以下の式１と式２によりベクトルＦに変換されること。その式の係数が行列Ａを成すこと。

式１と式２の演算の係数を添え字を付けて区別して式３で表します。
この式３は、式３’とあらわすと便利です。
この表し方はアインシュタインが提案した表記方法です（アインシャタインの縮約記法）。
この式３’は、変数で表した添え字の変数名が同じ場合に、その変数名の添え字のあらゆる場合（この場合は１と２のみ）について和をとることにした式です。

（条件２）ベクトルＦが、以下の式４と式５によりベクトルＧに変換されること。その式の係数が行列Ｂを成すこと。

式４と式５の演算の係数を添え字を付けて式６で表します。
この式６は、アインシュタインの縮約記法の式６’であらわせます。

式６’に式３’を代入すると式７が得られます。
式７は、更に式８に変形できます（式８はアインシュタインの縮約記法であらわした式です）。
式８’のように、演算Ａと演算Ｂを合成した演算Ｃを考えます。
式８から、演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素の値を計算する式９が得られます。
こうして、演算ＡとＢの行列の要素を用いた式９で演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素が計算できることがわかりました。

この演算Ｃを、式１０のように、演算Ａと演算Ｂの積（掛け算）と定義します。
そして、その演算Ａと演算Ｂの掛け算である演算Ｃの行列の要素は式９’で計算できます。
これが、行列の掛け算の定理です。

　すなわち、行列の掛け算の定理を、以下のようにあらわすことができます。
（条件１）ベクトルを式１～２でベクトルに変換する演算Ａの行列Ａが定義され、
（条件２）ベクトルを式４～５でベクトルに変換する演算Ｂの行列Ｂが定義されている場合に以下のことが成り立つ。
（結果）
　第１のベクトルを演算Ａで変換して第２のベクトルを得、更に、第２のベクトルを演算Ｂで変換して第３のベクトルを得る場合、
その２つの演算は、第１のベクトルを第３のベクトルに変換する演算Ｃにまとめることができる。
演算Ｃの行列Ｃは、式９’で計算することで求めることができる。
その演算Ｃを、演算Ａに演算Ｂを掛け算した演算であると定義する。
演算Ｃの行列の要素を計算する式９’の計算を、行列の掛け算と定義する。

【計算の形】
　なお、この掛け算の計算方式をベクトルＡとＢの内積にあてはめると、以下の形の行列の計算になる。

　この計算は、横ベクトルＡと縦ベクトルＢの積であらわせる。
　一方、アインシュタインの縮約記法では、ベクトルを縦ベクトルと横ベクトルの形に区別しないで内積の計算を表現できる。

 
 

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回転変換の行列の計算で三角関数の加法定理を得る

 

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行列と連立１次方程式

【解説】

（Ｘ，Ｙ）座標であらわされるベクトルを、左回りに角度θ回転させて、（Ｘ’，Ｙ’）座標であらわされるベクトルにする変換は以下の式になります。

Ｘ’＝（ｃｏｓθ）Ｘ－（ｓｉｎθ）Ｙ
Ｙ’＝（ｓｉｎθ）Ｘ＋（ｃｏｓθ）Ｙ
この変換は次式のように行列であらわせます。

θ＝α＋β
の場合、

（１）角度αの回転変換の行列（回転行列）は、行列をベクトルに掛け算してベクトルを得る式であらわされている。
（２）角度βの回転変換の行列（回転行列）も、行列をベクトルに掛け算してベクトルを得る式であらわされている。
（３）そのため、以下の、行列の掛け算の定理が成り立つ。
すなわち、
（Ａ）第１のベクトルに角度αの回転変換をして第２のベクトルを得、
（Ｂ）その第２のベクトルに角度βの回転変換を行って第３のベクトルを得る変換は、
（Ｃ）１つの行列であらわせる。
その行列は、
角度αの回転行列に角度βの回転行列を行列の掛け算計算で得た行列と等しい。

また、第１のベクトルに角度αの回転変換をして得た第２のベクトルに角度βの回転変換を行って第３のベクトルを得る変換は、θ＝α＋βの回転変換と同じである。

その回転行列を計算して比較すると、上式のように、三角関数の加法定理が得られます。

（補足）
なお、
（１）角度αの回転行列と角度βの回転行列を掛け合わせた計算計算結果に加法定理を適用すると角度（α＋β）の回転行列になるので、
（２）角度αの回転に角度βの回転を重ねると角度（α＋β）の回転になる
と説明されることがあるが、
その説明は本末転倒です。

角度αの回転に角度βの回転を重ねると角度（α＋β）の回転になるのは自明のことであって、
（１）その自明な事実に、
（２）２つの演算を重ね合わせた演算の行列は行列の掛け算によって導出できる行列の掛け算の定理を適用することで、
（３）加法定理という関係式が導き出されます。

定理とその定理から導出できる結果とは、その関係を逆転させて、結果から大元の定理を導き出すこともできます。
そのため、どの事実が自明で主となる事実であり、どの事実が従属的に分かる関係であるかを的確に判断する数学的センスが大切です。

（蛇足）
ここで、２θの回転行列とその２分の１の回転行列の要素の間には以下の関係があることを覚えておくと便利です。

 

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座標の回転変換の式のおぼえかた

《目次》行列演算からベクトル解析まで

【解説】

（Ｘ，Ｙ）の座標であらわすベクトルを、左回りに角度θ回転させて、（Ｘ’，Ｙ’）の座標であらわすベクトルにする変換は以下の式になります。

Ｘ’＝（ｃｏｓθ）Ｘ－（ｓｉｎθ）Ｙ
Ｙ’＝（ｓｉｎθ）Ｘ＋（ｃｏｓθ）Ｙ

この変換の式のおぼえ方は、上の図を思い描いて、図から、

Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘであること。
Ｙ座標のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙであること。

を想像する。
次に、それ以外は、係数がｃｏｓθの項を加えることで、回転変換の式ができあがります。

（補足）
三角関数の加法定理を知らないと回転行列が導き出せないという誤解が流通しているようですが、そのようなことはありません。
Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘである。
Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（ｃｏｓθ）・Ｘである。

そのため、回転行列Ａの要素は、
Ａ_１１＝（ｃｏｓθ）
Ａ_２１＝（ｓｉｎθ）
Ｙ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙである。
Ｙ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｃｏｓθ）・Ｙである。

そのため、回転行列Ａの要素は、
Ａ_１２＝（－ｓｉｎθ）
Ａ_２２＝（ｃｏｓθ）
こうして、加法定理を使わずに、回転行列の全ての要素がわかります。

この回転行列が全てのベクトルを左回りに角度θ回転することの証明：
（１）全てのベクトルはＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解されます。
（２）そして、その各々のベクトルが同じ角度θ回転します。
（３）そのため、その成分を合成したベクトルもまた角度θ回転します。 
（証明おわり）



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複素数平面での座標回転を応用した例
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行列の固有値が重根の場合の固有ベクトル

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行列と連立１次方程式

【解説】
２行２列の行列の場合は、固有値λは、以下の行列式を０にするλを計算することで求められます。
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
ここで、行列Ｅ_ｓｐは単位行列です。
また、そのλの解（固有値）α、β毎に、固有ベクトルがあります。

すなわち、行列は、固有値毎のあるベクトル（固有ベクトル）を固有値倍にします。

一方λの解が重根である場合、すなわち、α＝βの場合は、単位行列に比例する行列でなければ、
固有値αに対応する固有ベクトルは１つしか無い。
（固有ベクトルが２つ無ければ、その行列は対角化できない異常な行列です。その行列は、対角化できないが、ここをクリックした先のサイトのように三角化はできる。）

（注意）単位行列に比例する行列や０行列の場合は、例外的に、全方向のベクトルが固有ベクトルであり、固有値の重複した数と同じ２つの固有ベクトルを持つことに注意。
３行３列の行列において、固有値が重複し、かつ、その重複した数と同じ数の固有ベクトルを持つ行列の例は、ここをクリック先のページの行列Ｂを参照。

《第１の例》
考え易くするために、λ＝α＝β＝０となる行列Ａ_ｓｐを考える。
そのような場合の行列Ａ_ｓｐの例を下図に示す。

ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）
＝（Ａ_１１－λ）（Ａ_２２－λ）－Ａ_１２Ａ_２１
＝（１－λ）（－１－λ）＋１＝λ^２＝０

この行列の余因子行列Ｃ_ｐｔは、上図のように求められる。
よって、この行列Ａ_ｓｐは、余因子行列の列ベクトル

をλ＝０倍の０ベクトルに変換する。この列ベクトル

が固有ベクトルである。

一方、行列Ａ_ｓｐは、ベクトル

を、

に変換する。
すなわち、固有値０に対する固有ベクトルに平行な、固有ベクトルの（－ａ－ｂ）倍の、ベクトルに変換する。
すなわち、列ベクトル（ａ，ｂ）に対して、列ベクトル（－１，１）に垂直な列ベクトル（－１，－１）との内積（－ａ－ｂ）を計算して、その値を列ベクトル（－１，１）に掛け算した列ベクトルを求める、という変換を行なうのです。

行列Ａ_ｓｐが任意の列ベクトル

を固有ベクトルに平行なベクトルに変換した後で再度行列Ａ_ｓｐで変換すれば、それは０ベクトルになる。

同様に、λ＝α＝β＝０となる２行２列の行列Ａ_ｓｐは、どの行列も、
その行列で任意のベクトルを変換すれば、固有値が０の固有ベクトルに平行なベクトルに変換し、
２重に変換すれば、任意のベクトルを０ベクトルに変換する。
任意のベクトルを０ベクトルに変換する元の行列は０行列である。すなわち、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔ＝０_ｓｔ
である。

【第１の証明】
このことの証明を簡単に行なうには、ケイリー・ハミルトンの定理を先に証明しておいて、ケイリー・ハミルトンの定理を使って、これを証明するのが良いように考える。

（証明開始）
２行２列のケイリー・ハミルトンの定理は、固有値αとβに関して、
（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）（Ａ_ｐｔ－βＥ_ｐｔ）＝０_ｓｔ
である。
このα＝β＝０の場合は、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔ＝０_ｓｔ
になる。
また、Ａ_ｓｐの余因子行列Ｃ_ｍｔの列ベクトルをＣ_ｔとすると、それは、固有値α＝β＝０の固有ベクトルであるから、
Ａ_ｓｐＣ_ｐ＝０_ｓ
また、任意のベクトルＤ_ｔに関して、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔＤ_ｔ＝０_ｓ
∴
Ａ_ｐｔＤ_ｔは、行列Ａ_ｓｐで０ベクトルに変換される固有ベクトルＣ_ｐに平行なベクトルである。
（証明おわり）

【第２の証明】
（証明開始）
重根の場合、すなわち、α＝β＝０となる場合に、
１つの固有ベクトル
（Ｃ_１１，　Ｃ_２１）＝（－１，１）≡Ｃ_ｐ 
が得られ、その固有ベクトルに対して、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ　　（式１）
になる。

次に、行列（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）による任意のベクトルＤ_ｐの変換結果のベクトルは、以下の式２であらわせる。すなわち、 
（１）ベクトルＤ_ｍがベクトルＣ_ｍと線形独立な場合は、ベクトルＤ_ｍと固有ベクトルＣ_ｍを用いて、　
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ＝ｇＤ_ｍ＋ｈＣ_ｍ　　（式２）
とあらわせる。
（２）また、ベクトルＤ_ｍがベクトルＣ_ｍと線形独立で無くベクトルＣ_ｍの定数倍の場合は、ｇ＝０、ｈ＝０とあらわせて、やはり式２であらわせる。

（仮定）ここで、ｇ≠０と仮定すると、

式１により、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ　　（式３） 
が得られる。
この式３を式２に足し合わせると、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）＝ｇＤ_ｍ＋ｈＣ_ｍ　，
Ａ_ｍｐ（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）＝（α＋ｇ）・（Ｄ_ｍ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｍ）　（式４）
式４は、ベクトル（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）が行列Ａ_ｍｐにより（α＋ｇ）倍に変換されることをあらわしているので、
α＋ｇが固有値であることになる。
一方、固有値は重根であって、αのみであるので、
ｇ＝０
になる。
しかし、ｇ≠０と仮定していたので、これと矛盾する。
よって、ｇ≠０とした最初の仮定が不適である。
∴　ｇ＝０

任意のベクトルＦに関する式２は、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ＝ｈＣ_ｍ
∴
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｔは、行列Ａ_ｓｐで０ベクトルに変換される固有ベクトルＣ_ｐに平行なベクトルである。
（証明おわり）

《第２の例》
固有値が１の重根を持つ行列Ａ：

は、固有ベクトル

を１つのみ持つ。
その固有ベクトルと同じ固有ベクトルを持つ行列Ｂ：

は、行列Ａとの積が交換可能（可換）な関係があり、以下の式が成り立つ。

固有ベクトルを共有する行列同士の積が交換可能であるという関係は一般的に成り立つ。




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固有ベクトルが同じ行列
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ベクトルの座標を回転させる行列の固有値と固有ベクトル

 
 
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行列と連立１次方程式

【解説】
座標値（ｘ，ｙ）であらわされるベクトルを、左回りに角度θ回転させて、座標値（ｘ’，ｙ’）であらわされるベクトルにする変換をあらわすと以下の式になります。
ｘ’＝（ｃｏｓθ）ｘ－（ｓｉｎθ）ｙ
ｙ’＝（ｓｉｎθ）ｘ＋（ｃｏｓθ）ｙ
この変換は、以下のように行列Ａ_ｓｐであらわされています。
Ｘ’_ｓ＝Ａ_ｓｐＸ_ｐ 
ただし、この表記方法はアインシュタインの行列の積の表記方法です。通常の行列表現は以下のものです。

そして、ベクトル及び行列の各要素は以下の通りです。
ｘ’_１＝ｘ’
ｘ’_２＝ｙ’
ｘ_１＝ｘ
ｘ_２＝ｙ
Ａ_１１＝ｃｏｓθ
Ａ_１２＝－ｓｉｎθ
Ａ_２１＝ｓｉｎθ
Ａ_２２＝ｃｏｓθ
この行列Ａ_ｓｐは回転変換をあらわしますが、この行列は、あるベクトル（固有ベクトル）をλ倍にする変換でもある。
λは、以下の行列式を０にするλ（それを固有値と呼ぶ）を計算することで求められます。
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
ここで、行列Ｅ_ｓｐは単位行列です。
また、そのλの解（固有値）α、β毎に、
（１）λの解α（＝固有値）については、
行列（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ_ｐｔを計算し、その余因子行列Ｃ_ｐｔの列だけを取り出した列ベクトルＣ_ｐ１（又はＣ_ｐ２）が、
（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）Ｃ_ｐ１＝０_ｓ
（０_ｓは０ベクトル）
Ａ_ｓｐＣ_ｐ１＝α・Ｅ_ｓｐＣ_ｐ１＝α・Ｃ_ｓ１
を満足する。Ｃ_ｐ１がα倍になる。
Ｃ_ｐ１が固有ベクトルである。
Ｃ_ｐ２もα倍になる固有ベクトルであるが、Ｃ_ｐ１に平行なベクトルであるので、Ｃ_ｐ１を求めるのもＣ_ｐ２を求めるのも同じことである。

（２）λの解β（＝固有値）については、
行列（Ａ_ｓｐ－βＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ’_ｐｔを計算し、その余因子行列Ｃ’_ｐｔの列だけを取り出した列ベクトルＣ’_ｐ１（又はＣ’_ｐ２）が、
Ａ_ｓｐＣ’_ｐ１＝β・Ｃ’_ｓ１
を満足する。
Ｃ’_ｐ１（又はＣ’_ｐ２）が固有ベクトルである。

（３）固有値を具体的に求める
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
（ｃｏｓθ－λ）（ｃｏｓθ－λ）＋（ｓｉｎθ）（ｓｉｎθ）＝０
λ^２－２（ｃｏｓθ）λ＋１＝０
（λ－ｃｏｓθ）^２＝－ｓｉｎ^２θ
（λ－ｃｏｓθ）＝±ｉ・ｓｉｎθ
λ＝ｃｏｓθ±ｉ・ｓｉｎθ
α＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ
β＝ｃｏｓθ－ｉ・ｓｉｎθ

（４）この固有値αに対する行列（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ_ｐｔを計算する。
Ａ_１１－αＥ_１１＝－ｉ・ｓｉｎθ
Ａ_１２－αＥ_１２＝－ｓｉｎθ
Ａ_２１－αＥ_２１＝ｓｉｎθ
Ａ_２２－αＥ_２２＝－ｉ・ｓｉｎθ
余因子行列Ｃ_ｐｔは、
Ｃ_１１＝－ｉ・ｓｉｎθ
Ｃ_１２＝ｓｉｎθ
Ｃ_２１＝－ｓｉｎθ
Ｃ_２２＝－ｉ・ｓｉｎθ
よって、固有ベクトルは、
（－ｉ・ｓｉｎθ，　－ｓｉｎθ）
 ｓｉｎθ≠０のとき、
－ｓｉｎθで割り算して、もっと簡単にした固有ベクトルは、
（ｉ，　１）
（注意）ｓｉｎθ＝０の場合、この割り算計算は（０で割り算するので）無効です。ｓｉｎθ＝０の場合、すなわち、回転角度が０の場合の行列Ａ_ｓｐの固有ベクトルが（ｉ，　１）であるかかどうかが定まりません。実際、回転角度が０の場合の行列Ａ_ｓｐは単位行列Ｅ_ｓｐになりますが、その固有ベクトルは、あらゆる方向のベクトル全てが固有ベクトルになります。（注意おわり）


この固有ベクトルに左から行列Ａ_ｓｐを掛け算すると、
（ｉ・ｃｏｓθ－ｓｉｎθ，　ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）
＝（ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）（ｉ，　１）＝α（ｉ，　１）

 行列Ａ_ｓｐは、実数のベクトルだけを考えると回転変換しかしないのに、複素数で考えると、固有ベクトルを固有値倍に変換する。

（５）固有値βに対する行列（Ａ_ｓｐ－βＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ_ｐｔを計算する。
Ａ_１１－βＥ_１１＝ｉ・ｓｉｎθ
Ａ_１２－βＥ_１２＝－ｓｉｎθ
Ａ_２１－βＥ_２１＝ｓｉｎθ
Ａ_２２－βＥ_２２＝ｉ・ｓｉｎθ
余因子行列Ｃ_ｐｔは、
Ｃ_１１＝ｉ・ｓｉｎθ
Ｃ_１２＝ｓｉｎθ
Ｃ_２１＝－ｓｉｎθ
Ｃ_２２＝ｉ・ｓｉｎθ
よって、固有ベクトルは、
（ｉ・ｓｉｎθ，　－ｓｉｎθ）
ｓｉｎθ≠０のとき、
ｓｉｎθで割り算して、もっと簡単にした固有ベクトルは、
（ｉ，　－１）
この固有ベクトルに左から行列Ａ_ｓｐを掛け算すると、
（ｉ・ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，　ｉ・ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）
＝（－ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）（ｉ，　－１）＝β（ｉ，　－１）

 このように、固有ベクトルを固有値倍に変換する。




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行列式が０になる行列は、余因子行列の列ベクトルを０ベクトルに変換する

 
 
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行列と連立１次方程式

行列Ａ_ｍｐに対する余因子行列Ｂ_ｓｔを、以下の式で定義します。

（１）
２行２列の行列Ａ_ｍｐの余因子行列Ｂ_ｓｔは、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Ｂ_１ｍ＝ε_ｍｐＡ_ｐ２
Ｂ_２ｐ＝ε_ｍｐＡ_ｍ１
で計算します。
（補足）これらの式は、行列式ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２の計算式から、余因子行列Ｂ_ｓｔに対応して、行列Ａのｓ列目の項を除去した式です。
この計算に利用する行列
ε_ｍｐ
は、
ε_１２＝１，
ε_２１＝－１
であり、それ以外の
ε_ｍｐ＝０
です。
余因子行列Ｂ_ｓｔは、具体的には、
Ｂ_１１＝Ａ_２２
Ｂ_１２＝－Ａ_１２
Ｂ_２１＝－Ａ_２１
Ｂ_２２＝Ａ_１１

こうして計算した余因子行列Ｂ_ｓｔを行列Ａ_ｍｐに掛け算すると、
行列Ａ_ｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ_１ｍＡ_ｍ１＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Δ
Ｂ_１ｍＡ_ｍ２＝ε_ｍｐＡ_ｍ２Ａ_ｐ２＝０
Ｂ_２ｐＡ_ｐ１＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ１＝０
Ｂ_２ｐＡ_ｐ２＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Δ
∴
Ｂ_ｓｔＡ_ｔｐ＝Δ・Ｅ_ｓｐ
このＥ_ｓｐは、単位行列。

 （２）
３行３列の行列Ａ_ｍｐの余因子行列Ｂ_ｓｔは、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐｓを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Ｂ_１ｍ＝ε_ｍｐｓＡ_ｐ２Ａ_ｓ３
Ｂ_２ｐ＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｓ３
Ｂ_３ｓ＝ε_ｍｐｓＡ_m１Ａ_ｐ２
で計算します。
（補足）これらの式は、行列式ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３の計算式から、余因子行列Ｂ_ｓｔに対応して、行列Ａのｓ列目の項を除去した式です。
この計算に利用する行列
ε_ｍｐｒ
は、
ε_１２３＝ε_２３１＝ε_３１２＝１
ε_２１３＝ε_３２１＝ε_１３２＝－１
であり、それ以外の
ε_ｍｐｒ＝０
です。

こうして計算した余因子行列Ｂ_ｓｔを行列Ａ_ｍｐに掛け算すると、
３行３列の行列Ａ_ｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ_１ｍＡ_ｍ１＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３＝Δ
Ｂ_１ｍＡ_ｍ２＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ２Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３＝０
・・・
結局、
Ｂ_ｓｍＡ_ｍｐ＝Δ・Ｅ_ｓｐ
このＥ_ｓｐは、単位行列。

（３）
このように、余因子行列Ｂ_ｓｍは、
行列Ａ_ｍｐの左から掛け算することで、Δ・Ｅ_ｓｐ
となる行列です。

（４）
また、行列Ａ_ｍｐの右から掛け算する場合も、同じことになります。
そうなるのは、行列式が以下の式でもあらわせることに由来します。
つまり、２行２列の行列式Δは、
Δ＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２
Δ＝ε_ｍｐＡ_１ｍＡ_２ｐ
ともあらわせ、
また、３行３列の行列式Δは、
Δ＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３
Δ＝ε_ｍｐｓＡ_１ｍＡ_２ｐＡ_３ｓ
ともあらわせることに由来します。
（この証明は省略）

以下では、余因子行列Ｂ_ｓｍの右側からの掛け算でも、この関係を満足することを確認するために、２行２列の行列を例に、直接計算してみます。
Ｂ_１１＝Ａ_２２
Ｂ_１２＝－Ａ_１２
Ｂ_２１＝－Ａ_２１
Ｂ_２２＝Ａ_１１
この余因子行列Ｂ_ｔｍの左から行列Ａ_ｓｔを掛け算すると、
Ａ_１ｔＢ_ｔ１＝Ａ_１１Ｂ_１１＋Ａ_１２Ｂ_２１＝Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_１２Ａ_２１＝Δ
Ａ_１ｔＢ_ｔ２＝Ａ_１１Ｂ_１２＋Ａ_１２Ｂ_２２＝－Ａ_１１Ａ_１２＋Ａ_１２Ａ_１１＝０
Ａ_２ｔＢ_ｔ１＝Ａ_２１Ｂ_１１＋Ａ_２２Ｂ_２１＝Ａ_２１Ａ_１１－Ａ_２２Ａ_２１＝０
Ａ_２ｔＢ_ｔ２＝Ａ_２１Ｂ_１２＋Ａ_２２Ｂ_２２＝－Ａ_２１Ａ_１２＋Ａ_２２Ａ_１１＝Δ
∴
Ａ_ｓｔＢ_ｔｍ＝Δ・Ｅ_ｓｍ

このように、余因子行列Ｂ_ｔｍは、
行列Ａ_ｓｔの右から掛け算しても左から掛け算しても、Δ・Ｅ_ｓｍ
となる行列です。

（５）
ベクトルＢ_ｔ１に対して、
（ベクトルＢ_ｔ１は、（Ｂ_１１，　Ｂ_２１）です。）
Ａ_ｓｔＢ_ｔ１＝Δ・Ｅ_ｓ１
そのため、行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
行列Ａ_ｓｔは、ベクトルＢ_ｔ１を０ベクトルに変換します。

このベクトルはこの行列の固有値０に対する固有ベクトルです。
また、ベクトルＢ_ｔ２に対しても、
Ａ_ｓｔＢ_ｔ２＝Δ・Ｅ_ｓ２
そのため、行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
行列Ａ_ｓｔは、ベクトルＢ_ｔ２も０ベクトルに変換します。

２行２列の行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
ベクトルＢ_ｔ１とベクトルＢ_ｔ２は、同じ方向を向いた平行なベクトルです（証明は省略）。そのため、そのうち一方だけで（ただし、それが０ベクトルで無いベクトルを選ぶこと）、０ベクトルに変換されるベクトルの代表にすることができます。

このように、行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
その余因子行列の列ベクトルＢ_ｔ１（又はＢ_ｔ２）は、行列Ａ_ｓｔが０ベクトルに変換します。

しかし、行列Ａが、
１，１，１
０，０，０
０，０，０
のような行列の場合、
その余因子行列Ｂは、全ての成分が０である０行列になる。
その行列Ａは、縦ベクトル（１，－１，０）や縦ベクトル（１，０，ー１）を０ベクトルに変換する。
しかし、その縦ベクトルを余因子行列Ｂの各列ベクトル（０ベクトル）の合成によって作ることができない。そのように、行列Ａによって０ベクトルに変換される縦ベクトルのうち、余因子行列Ｂの縦ベクトルから作れないベクトルもあるので注意すること。




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