固有値が同じ行列

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
  対角行列Ｂ_ｍｋから、以下の様にして行列式Δが０では無い行列Ｐ_ｓｍを使って、固有値が同じ行列Ａ_ｓｔを作ることができます。

行列Ａ_ｓｔ固有値λは以下の行列式により得られます。

 上の式のように、その行列Ａ_ｓｔの固有値λを計算すると、その固有値λは対角行列Ｂ_ｍｋの固有値と等しくなります。
対角行列からでは無くても、同様に変換された行列同士の固有値λは等しくなります。

この行列Ａ_ｓｔの意味を以下で説明します。
あるベクトルＸ_ｋと、そのベクトルが対角行列Ｂ_ｍｋにより変換された結果のベクトルＹ_ｍとがある場合：
Ｙ_ｍ＝Ｂ_ｍｋＸ_ｋ　　（１）

 その２つのベクトルを、行列Ｐ_ｓｍで新しいベクトルＸ’_ｓとＹ’_ｓに変換した場合に、その新しいベクトル間の変換の行列をＡ_ｓｔであらわせるものとします。
Ｘ’_ｓ＝Ｐ_ｓｍＸ_ｍ　　（２）

Ｙ’_ｓ＝Ｐ_ｓｍＹ_ｍ　　（３）

Ｙ’_ｓ＝Ａ_ｓｔＸ’_ｔ　　（４）

（４）に、（２）と（３）を代入。
Ｐ_ｓｍＹ_ｍ＝Ａ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ，
Ｐ^－１_ｕｓを左から掛け算する。
Ｐ^－１_ｕｓＰ_ｓｍＹ_ｍ＝Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ，
Ｙ_ｕ＝Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ， 
（１）を代入する。
 Ｂ_ｕｋＸ_ｋ＝Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ， 
上式が任意のベクトルＸ_ｋで成り立つ条件を求める。
それは、ベクトルＸ_ｋの各成分毎に、係数同士が等しいことである。
それは、以下の式になる。
Ｂ_ｕｋ＝Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋ
Ｐ_ｗｕを左から掛け算し、Ｐ^－１_ｋｍを右から掛け算する。
Ｐ_ｗｕＢ_ｕｋＰ^－１_ｋｍ＝Ｐ_ｗｕＰ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋＰ^－１_ｋｍ＝Ｅ_ｗｓＡ_ｓｔＥ_ｔｍ
Ｐ_ｗｕＢ_ｕｋＰ^－１_ｋｍ＝Ａ_ｗｍ

ベクトル（１，０）が行列Ｂ_ｕｋで変換されてベクトルλ_１（１，０）になる。

 その各ベクトルをＰ_ｓｍで１次変換すると、

 変換されたベクトル同士では、縦ベクトルＰ_ｔ１が行列Ａ_ｓｔによって縦ベクトルλ_１Ｐ_ｔ１に変換される関係になる。

 すなわち、行列Ａ_ｓｔに関しては、縦ベクトルＰ_ｔ１が固有値λ_１についての固有ベクトルです。
そのため、Ｐ_ｔｋは固有ベクトルを並べた行列になっている。
つまり、以下の式が成り立ちます。

 ここで、
Ｐ_ｗｕＢ_ｕｋＰ^－１_ｋｍ＝Ａ_ｗｍ
という式や、
Ｂ_ｕｋ＝Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋ
という式は、以下のように覚え易い形に変形して覚えます。

Ｐ_ｓｕＢ_ｕｋＸ_ｋ＝Ａ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ

 この式の左辺は、ベクトルＸ_ｋを対角行列Ｂ_ｕｋで変換したベクトルを作って、そのベクトルを１次変換Ｐ_ｓｕで変換する操作です。
右辺は、ベクトルＸ_ｋを前もってＰ_ｔｋで１次変換してしておいて、１次変換後のベクトルを行列Ａ_ｓｔで変換する操作です。
左辺の操作は右辺の操作と同じ結果を出します。
特に、左辺では、対角行列Ｂ_ｕｋによって、ベクトル（１，０）を第１の固有値倍に変換し、ベクトル（０，１）を第２の固有値倍に変換します。
右辺では、それらのベクトルがＰ_ｔｋで１次変換された結果のベクトル、すなわち、行列Ｐ_ｔｋの縦ベクトルが固有値倍に変換されます。

以上の結果から、 行列Ａ_ｓｔの固有値を計算して、その固有値に対応する２つの固有ベクトルを計算して、その２つの固有ベクトルを並べた行列Ｐ_ｔｋを使えば、行列Ａ_ｓｔを行列Ｐ_ｔｋによって対角化した行列Ｂ_ｍｋを逆算することができます。
行列Ａ_ｓｔから対角化した行列Ｂ_ｍｋを求めることを、行列の対角化と言います。

（固有値が同じ行列の例）
行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋとは等しくない場合が多いですが、
Ａ^－１_ｋｍ（Ａ_ｍｕＢ_ｕｓ）＝Ｂ_ｋｓ＝（Ｂ_ｋｍＡ_ｍｕ）Ａ^－１_ｕｓ
が成り立ちます。
そのため、 行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋとは同じ固有値を持ち、行列Ａ^－１_ｋｍによって互いに変換されます。

また 、行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）
です。


（固有値が同じ行列の性質）

なお、対角行列Ｂから、ＰＢＰ^－１＝Ａとする変換で作ることができない行列Ａもあります。
そういう行列Ａでも、固有値を求める上記のｎ行ｎ列の行列式の、
ｘ^{（ｎ－１）}の係数＝－固有値の和＝－行列Ａの対角要素の和
になります。
そのため、いずれにしろ、
 固有値の和＝行列Ａの対角要素の和
が成り立ちます。 

（注意）
固有値が同じ行列同士を変換する行列Ｐ_ｔｋが求められるためには、変換される行列Ａ_ｓｔの固有ベクトルが２つなければなりません。
大学生も間違え易い問題点ですが、
行列Ａ_ｓｔの固有ベクトルが２つあるのは、以下の場合のみです。
（１）その２つの固有値が異なる場合。
（２）その２つの固有値αが等しいが、行列Ａ_ｓｔ＝α・Ｅ_ｓｔである場合。

２つの固有値が等しい場合で、行列Ａ_ｓｔが単位行列の固有値倍の行列では無い場合は、固有ベクトルは１つしかありません。その行列Ａ_ｓｔは、どの行列Ｐ_ｔｋで変換しても、対角化された行列には変換できません。

（第２の方法）
次に、行列Ｐ_ｔｋで変換しない方法で、固有値が同じ行列を作る方法を説明します。
固有値が同じ行列では対角要素の和（すなわち、固有値の和）が変わらないので、以下のような行列の足し算を考えます。

ここで、行列Ａ_ｓｔの固有値は以下の式で計算できます。

この固有値が行列Ｂ_ｍｋの固有値と等しくなるためには、以下の式が成り立つ必要があります。

この式を満足するパラメータａを持つ行列を足し合わせると、その行列の固有値は変わりません。

この変換方法では、２つの固有値が等しい場合で、行列Ａ_ｓｔが単位行列の固有値倍の行列では無い場合にも、その行列Ａ_ｓｔから対角化された（固有値が等しい）行列を作ることができます。
しかし、この変換は、単に固有値が同じ行列を作るだけの処理です。
行列Ｐ_ｔｋで１次変換して行列を作るわけではないので、作られた行列の性質が元の行列の性質と同じであるという保証はありません。

【固有値が重根の場合の、固有値が等しい行列】
以下では、固有値が重根の場合に、固有値が同じ行列を作ってみます。

先ず、固有値が重根の対角行列、すなわち単位行列の定数倍の対角行列から、１次変換により、固有値が等しい行列を作ってみます。

 単位行列の定数倍の対角行列から、１次変換によって固有値が等しい行列を作ると、その結果は元の行列と変わりません。
そのため、固有値が重根であって対角行列で無い行列は、どのように１次変換しても決して対角行列にはならないのです。

《重根の固有値を持つ第１の例》
次に、先に説明した第２の方法で、単位行列と固有値が等しい（固有値が１の重根を持つ）行列を作ってみます。

この新しい行列は元の行列と同じで固有値１を持ちます。この新しい行列の固有ベクトルは（１，１）に比例するベクトルだけです。

それ以外のベクトル（F_１，　F_２）は、
F_１（２，１）＋F_２（－１，０）
＝F_１（（１，０）＋（１，１））＋F_２（（０，１）＋（－１，－１））
＝（F_１，F_２）＋（F_１－F_２）（１，１）

に変換します。
変換の結果の方向が変わらないベクトル、すなわち、固有値倍に変換されるベクトルはベクトル（１，１）の方向のベクトルのみです。

そもそも固有値は、固有ベクトルを求める式が源になって定義されたパラメータです。
この場合は、その求める対象の固有ベクトルが１つしか無いので、
固有値が重根（重解）となって２つ得られたというのは見せかけであって、１つの固有値しか得られていないと解釈できます。

《重根の固有値を持つ第２の例》
また、固有値が１の重根を持つもう１つの行列Ａ：

は、固有ベクトル

を１つのみ持つ。




リンク：
固有ベクトルを求める（裏技）
追加講：三角形の面積と行列式
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