2011年8月31日水曜日

楕円と円の接点

「大学への数学ⅢC」の勉強

【研究問題】
座標原点を中心にする楕円
と、円A
とが接する接点Pにおける接線を、 
接点Pから円Aの中心に向かう単位ベクトルC(x,y)に垂直な直線の式、
であらわされるものとした場合に、
(1)その接線と楕円の中心の距離mの値を求めよ。
(2)円Aの中心の座標A(x,y)の値をx,y,m,rであらわす式を求めよ。

(解答)
以下では、この問題を、単位ベクトルC(x,yの値が先に分かっている場合から始めて解く。

楕円
に接する直線は、単位ベクトルC(x,y)に垂直な直線であり、接点:
での接線の式は、楕円の接線の公式により、
である。
この接線の式が式3と等しいとして、以下の式4を導く。
式4の座標値を式3に代入して以下の計算をすることで式5が得られる。
式5により、楕円の中心と直線との距離mをxとyから計算することができる。
mの値は、正の値と負の値との2つです。
式3のmが、この式5で得られる。

円Aの中心の座標A(x,y)の値は以下の式であらわせる。
 
このように、最初に、楕円への接線に垂直な単位ベクトルC(x,y)がわかれば、他のパラメータが簡単に計算できる。

 しかし、他のパラメータから、,yを計算しようとすると簡単ではありません。
例えば、xを他のパラメータから計算する式を、以下で求めてみます。
式6aを変形する。

mに式5を代入してmを消去する。
単位ベクトルCの成分の関係式
を用いて、yをxであらわす。
この式はに関する4次方程式である。
すなわち、
を他のパラメータから計算しようとすると、4次方程式の解を求める問題に帰着する。
この4次方程式の解は簡単には解けない。その解を得るには、EXCEL等を利用して近似解を計算するしかない。
よって、
を他のパラメータから計算する問題は入学試験などの試験には出題されない。
(たまたま簡単に解ける4次方程式になる場合だけが試験に出題され得るだろう。)

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