2012年1月28日土曜日

ケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味



大学への数学Ⅲ&Cの勉強
行列と連立1次方程式


ケイリー・ハミルトンの定理は高校の数ⅢCで教えられています。
しかし、高校生には、この定理の数学的意味が教えられていないので、
なぜこの定理を学ばなければならないのかが高校生にわからない状態です。


行列の教育の評判が悪いためか、2012年の高校入学生からは、新教育過程で、行列自体を高校生に教えないことになりました。


このページでは、このケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味、すなわち、この定理を学ぶ価値がわかるように、以下で、この定理の意味を解説します。


以下の話は大学で教わる知識です。
そのため、以下の知識は高校の試験問題での解答には使わないで下さい。
(大学の入試問題の解答には使っても良いかもしれない)
高校の試験問題では、高校で習う範囲の知識を使って解答するようにして下さい。


先ず、ケイリー・ハミルトンの定理は、高校の数学ⅢCで教えられているような2行2列の行列に限定された定理では無く、n行n列の正方行列に関する広い範囲の定理です。
 すなわち、ケイリー・ハミルトンの定理は、n行n列の行列Aptに関して、
Δ=det[Apt-xEpt]=0
の方程式のxを行列Aptに置き換え、係数項を単位行列Eptの係数倍に置き換えた式が成り立つという定理です。

【行列式】
ケイリー・ハミルトンの定理の意味を理解するには、先ず、「行列式」の意味を知る必要があります。


【行列の固有値と固有ベクトル】
 行列Amp毎に、その行列の変換により方向が変わらないベクトル(固有ベクトル)が必ず1つ以上あり、固有ベクトルの方向毎に特定の倍率α(固有値)でベクトルが拡大されます。
つまり、ある方向のベクトルに関して、
mp=αB   (式1)

という関係があります。
この固有ベクトルの方向は固有値毎に定まります。
固有値が異なる固有ベクトルは異なる方向を向きます。

この固有値αを計算するには、以下のようにします。
 mp-αB=0
 (Amp-α・Emp=0  (式2)
mpは単位行列です。
この行列 (Amp-α・Empの行列式が0になります。
また、その行列式が0ならば、以下で詳しく説明するように、式2を満たすベクトルが 存在します。
そのため、
mp-x・Emp
という行列の行列式を0にする方程式を求めます。その行列式の方程式の変数xの値(固有値)を求めることで行列Ampの固有値が計算できます。
Δ=det[Amp-xEmp]=0   (式3)

固有値αが求められたら、行列
mp-α・Emp
の余因子行列を計算します。
以下で詳しく説明するように、その余因子行列の縦の列ベクトルが固有ベクトルに比例します。

 (注意)  一見固有ベクトルを持たないように見える回転変換の行列も、複素数の固有値を持ち、複素数の成分が含まれる固有ベクトルを持ちます
 
【固有ベクトルの有用性について書いたページはここをクリック】


【行列の固有値と固有ベクトルの計算の詳細】

 行列mpに関する固有値は、以下の行列の行列式を計算することで計算します。
mp-x・Emp
この行列が2行2列の行列の場合は、その行列式Δを0にする方程式(式3)は、以下のようにxの2次方程式になります。
Δ=det[Amp-xEmp]=0  (式3’)
0=εmp(Am1-xEm1)(Ap2-xEp2
=(A11-x)(A22-x)-A2112 ,
-(A11+A22)x+A1122-A2112=0  (式4)
このxの2次方程式の解は2つあります。
その2つの解をαとβとします。
(このαとβが固有値です。)
根と係数の関係から、
α+β=A11+A22     (式5)
α・β=A1122-A2112 (式6)
が成り立ちます。

この固有値λ(=α又はβ)を使った行列 (Amp-λ・Emp)の行列式Δは0です。
この行列 (Amp-λ・Emp)の余因子行列をpsとします。
すると、
(Amp-λ・Empps=Δ・Ems=0・Ems=0ms  (式7)
が成り立ちます。
行列psの1つの縦の列ベクトルp1については、
(Amp-λ・Empp1m1  (式8)
が成り立ちます。
この式8を変形すると、
mpp1-λ・Empp1m1
mpp1-λ・m1m1
mpp1=λ・m1
すなわち、列ベクトルBp1は固有ベクトルです。
よって、行列 (Amp-λ・Emp)の余因子行列psの列ベクトルp1は固有ベクトルです。
同様にして、 余因子行列psの列ベクトルp2も同じ固有ベクトルです。これは、p1p2が比例することを意味します。
 
この固有ベクトルは、個々の固有値毎に、その固有値に関する余因子行列を計算し、その余因子行列の縦ベクトルに比例する固有ベクトルを求めます。
そうして求めた個々の固有値毎の固有ベクトルは、
固有値が異なれば異なる方向を向きます。
固有値が全て異なる場合の、固有値毎の固有ベクトルを列ベクトルにして並べて作った行列Pの行列式は0ではありません。

 【2行2列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理】

 (2つのxの値が異なる場合、すなわちα≠βの場合)
 固有値毎に、
(1)
1つ目の固有値αに対応した固有ベクトルBに対して、
(ベクトルBは、(B, B)です。)

行列Ampによる変換結果は、
mp=αB
になります。

(2)
別の固有値βに対応した固有ベクトルCに対して、
行列Ampによる変換結果は、
mp=βC
になります。


そのため、
行列(Amp-α・Emp)に対して
(Amp-α・Emp)B=0
(Amp-α・Emp)C=(β-α)C
行列(Amp-β・Emp)に対して
(Amp-β・Emp)C=0
(Amp-β・Emp)B=(α-β)B
一方、任意のベクトルDは、
=b・B+c・C
とあらわせる。
すると、任意のベクトルDに対して、
(Anm-β・Enm)(Amp-α・Emp)D
=(Anm-β・Enm)(Amp-α・Emp)(b・B+c・C
=(Anm-β・Enm)c・(β-α)C
=0
この行列(Anm-β・Enm)(Amp-α・Emp)は、任意のベクトルDを0ベクトルに変換するので、0行列です。すなわち、
(Anm-β・Enm)(Amp-α・Emp)=0np
(この形の式は、因数分解した形のケイリー・ハミルトンの定理です。)


(重根の場合、すなわち、α=βとなる場合)
固有ベクトルBに対して、
(Amp-α・Emp)B=0  (式9)
になりますが、
行列(Amp-α・Emp)は、
任意のベクトルFを、以下のように、ベクトルBの定数倍に変換します。
(証明開始) 
行列(Amp-α・Emp)によるベクトルFの変換結果のベクトルは、以下の式10であらわせる。すなわち、
(1)ベクトルベクトルBと線形独立な場合は、ベクトルベクトルBを用いて、 
(Amp-α・Emp)F=g+hB  (式10)
とあらわせる。
(2)また、ベクトルがベクトルBと線形独立で無くベクトルBの定数倍の場合は、g=0、h=0とあらわせて、やはり式10であらわせる。

(仮定)ここで、g≠0と仮定すると、

式9により、
(Amp-α・Emp(h/g)B  (式11) 
式10と式11を足し合わせると、
(Amp-α・Emp)(F(h/g)B)=g+hB ,
mp(F(h/g)B)=(α+g)・(F(h/g)B
この式は、ベクトル(F(h/g)B)が行列mpにより(α+g)倍に変換されることをあらわしているので、
α+gが固有値であることになる。
一方、固有値は重根であって、αのみであるので、
g=0
になる。
しかし、g≠0と仮定していたので、これと矛盾する。
よって、g≠0とする仮定は不適。
∴ g=0
任意のベクトルFに関する式10は、
(Amp-α・Emp)FhB
(証明おわり)
このため、任意のベクトルFについて、
(Anm-α・Enm)(Amp-α・Emp)F=(Anm-α・Enm)(h・B
=0
すなわち、
(Anmα・Enm)(Amp-α・Emp)=0np


よって、α≠βの場合も、α=βの場合も、
(Anm-β・Enm)(Amp-α・Emp)=0np
nmmp-(α+β)Anp+α・βEnp=0np
根αとβと係数の関係をあらわす式5と式6を代入すると、
nmmp-(A11+A22)Anp+(A1122-A2112)Enp=0np
 これが、2行2列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理です。


【3行3列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理】
2行2列の行列の場合と同様に、3行3列の行列についても、
変数xに関して以下の行列を作ります。
mp-x・Emp
そして、この行列の行列式を0にする変数xの値を求めます。
εmpr(Am1-xEm1)(Ap2-xEp2)(Ar3-xEr3)=0 (式12)
 
この方程式は3次方程式になります。その3つの解をαとβとγとすると、以下の式であらわせます。
(x-α)(x-β)(x-γ)=0   (式13)


一方、行列Ampに関しては、2行2列の行列と同様に、以下の関係が成り立ちます。
(Anm-γ・Enm)(Ams-β・Ems)(Asp-α・Esp)=0np
この式13を展開した式を求めるには、行列式12を展開した3次方程式を求めて、
その3次方程式の、
をAnmmsspに置き換え、
をAnmmpに置き換え、
xをAnpに置き換え、
係数項は単位行列npの係数倍に置き換える
ことで求めることができます。
これが3行3列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理です。

(蛇足)
試験問題として、ケイリー・ハミルトンの定理を用いて行列のべき乗の計算を簡略化する問題が頻繁に出題されています。
 行列のべき乗があらわれる場合は、電流Iと電圧Vを変換する電子回路を重ねた場合に、その変換をあらわす行列が、個々の変換のべき乗になります。




リンク:
追加講:三角形の面積と行列式
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