ケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

ケイリー・ハミルトンの定理は高校の数ⅢＣで教えられています。
しかし、高校生には、この定理の数学的意味が教えられていないので、
なぜこの定理を学ばなければならないのかが高校生にわからない状態です。

行列の教育の評判が悪いためか、２０１２年の高校入学生からは、新教育過程で、行列自体を高校生に教えないことになりました。

このページでは、このケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味、すなわち、この定理を学ぶ価値がわかるように、以下で、この定理の意味を解説します。

以下の話は大学で教わる知識です。
そのため、以下の知識は高校の試験問題での解答には使わないで下さい。
（大学の入試問題の解答には使っても良いかもしれない）
高校の試験問題では、高校で習う範囲の知識を使って解答するようにして下さい。

先ず、ケイリー・ハミルトンの定理は、高校の数学ⅢＣで教えられているような２行２列の行列に限定された定理では無く、ｎ行ｎ列の正方行列に関する広い範囲の定理です。
　すなわち、ケイリー・ハミルトンの定理は、ｎ行ｎ列の行列Ａ_ｐｔに関して、
Δ_ｘ＝ｄｅｔ［Ａ_ｐｔ－ｘＥ_ｐｔ］＝０
の方程式のｘを行列Ａ_ｐｔに置き換え、係数項を単位行列Ｅ_ｐｔの係数倍に置き換えた式が成り立つという定理です。

【行列式】
ケイリー・ハミルトンの定理の意味を理解するには、先ず、「行列式」の意味を知る必要があります。

【行列の固有値と固有ベクトル】
　行列Ａ_ｍｐ毎に、その行列の変換により方向が変わらないベクトル（固有ベクトル）Ｂ_ｐが必ず１つ以上あり、固有ベクトルの方向毎に特定の倍率α（固有値）でベクトルが拡大されます。
つまり、ある方向のベクトルＢ_ｐに関して、
Ａ_ｍｐＢ_ｐ＝αＢ_ｍ　　　（式１）

という関係があります。
この固有ベクトルの方向は固有値毎に定まります。
固有値が異なる固有ベクトルは異なる方向を向きます。

この固有値αを計算するには、以下のようにします。
 Ａ_ｍｐＢ_ｐ－αＢ_ｍ＝０_ｍ
 （Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｂ_ｐ＝０_ｍ　　（式２）
Ｅ_ｍｐは単位行列です。
この行列 （Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）の行列式が０になります。
また、その行列式が０ならば、以下で詳しく説明するように、式２を満たすベクトルＢ_ｐが 存在します。
そのため、
Ａ_ｍｐ－ｘ・Ｅ_ｍｐ
という行列の行列式を０にする方程式を求めます。その行列式の方程式の変数ｘの値（固有値）を求めることで行列Ａ_ｍｐの固有値が計算できます。
Δ_ｘ＝ｄｅｔ［Ａ_ｍｐ－ｘＥ_ｍｐ］＝０　　　（式３）

固有値αが求められたら、行列
Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ
の余因子行列を計算します。
以下で詳しく説明するように、その余因子行列の縦の列ベクトルが固有ベクトルに比例します。（ただし、（３行３列以上の行列で起こり得ることであるが）余因子行列が０行列になってしまう場合は、その他の方法で固有ベクトルを求める必要があります）。

（注意）
　一見固有ベクトルを持たないように見える回転変換の行列も、複素数の固有値を持ち、複素数の成分が含まれる固有ベクトルを持ちます。
 
【固有ベクトルの有用性について書いたページはここをクリック】

【行列の固有値と固有ベクトルの計算の詳細】

　行列Ａ_ｍｐに関する固有値は、以下の行列の行列式を計算することで計算します。
Ａ_ｍｐ－ｘ・Ｅ_ｍｐ
この行列が２行２列の行列の場合は、その行列式Δ_ｘを０にする方程式（式３）は、以下のようにｘの２次方程式になります。
Δ_ｘ＝ｄｅｔ［Ａ_ｍｐ－ｘＥ_ｍｐ］＝０　　（式３’）
０＝ε_ｍｐ（Ａ_ｍ１－ｘＥ_ｍ１）（Ａ_ｐ２－ｘＥ_ｐ２）
＝（Ａ_１１－ｘ）（Ａ_２２－ｘ）－Ａ_２１Ａ_１２　，
ｘ^２－（Ａ_１１＋Ａ_２２）ｘ＋Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_２１Ａ_１２＝０　　（式４）
このｘの２次方程式の解は２つあります。
その２つの解をαとβとします。
（このαとβが固有値です。）
根と係数の関係から、
α＋β＝Ａ_１１＋Ａ_２２　　　　　（式５）
α・β＝Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_２１Ａ_１２　（式６）
が成り立ちます。
（式６は、行列Ａの固有値の積が行列Ａの行列式に等しいことを表している）

この固有値λ（＝α又はβ）を使った行列 （Ａ_ｍｐ－λ・Ｅ_ｍｐ）の行列式Δは０です。
この行列 （Ａ_ｍｐ－λ・Ｅ_ｍｐ）の余因子行列をＢ_ｐｓとします。
すると、
（Ａ_ｍｐ－λ・Ｅ_ｍｐ）Ｂ_ｐｓ＝Δ・Ｅ_ｍｓ＝０・Ｅ_ｍｓ＝０_ｍｓ　　（式７）
が成り立ちます。
行列Ｂ_ｐｓの１つの縦の列ベクトルＢ_ｐ１については、
（Ａ_ｍｐ－λ・Ｅ_ｍｐ）Ｂ_ｐ１＝０_ｍ１　　（式８）

が成り立ちます。
この式８を変形すると、
Ａ_ｍｐＢ_ｐ１－λ・Ｅ_ｍｐＢ_ｐ１＝０_ｍ１
Ａ_ｍｐＢ_ｐ１－λ・Ｂ_ｍ１＝０_ｍ１
Ａ_ｍｐＢ_ｐ１＝λ・Ｂ_ｍ１

すなわち、列ベクトルＢ_ｐ１は固有ベクトルです。
よって、行列 （Ａ_ｍｐ－λ・Ｅ_ｍｐ）の余因子行列Ｂ_ｐｓの列ベクトルＢ_ｐ１は固有ベクトルです。
同様にして、 余因子行列Ｂ_ｐｓの列ベクトルＢ_ｐ２も同じ固有ベクトルです。これは、Ｂ_ｐ１とＢ_ｐ２が比例することを意味します。
 
この固有ベクトルは、個々の固有値毎に、その固有値に関する余因子行列を計算し、その余因子行列の縦ベクトルに比例する固有ベクトルを求めます。（ただし、余因子行列Ｂが０行列になる場合は、その他の方法で固有ベクトルを求めて使います）

そうして求めた個々の固有値毎の固有ベクトルは、
固有値が異なれば異なる方向を向きます。
固有値が全て異なる場合の、固有値毎の固有ベクトルを列ベクトルにして並べて作った行列Ｐの行列式は０ではありません。

 【２行２列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理】

 （２つのｘの値が異なる場合、すなわちα≠βの場合）
 固有値毎に、
（１）
１つ目の固有値αに対応した固有ベクトルＢ_ｐに対して、
（ベクトルＢ_ｐは、（Ｂ_１，　Ｂ_２）です。）

行列Ａ_ｍｐによる変換結果は、
Ａ_ｍｐＢ_ｐ＝αＢ_ｍ

になります。

（２）
別の固有値βに対応した固有ベクトルＣ_ｐに対して、

行列Ａ_ｍｐによる変換結果は、
Ａ_ｍｐＣ_ｐ＝βＣ_ｍ

になります。

そのため、
行列（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）に対して
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｂ_ｐ＝０_ｍ
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｃ_ｐ＝（β－α）Ｃ_ｍ
行列（Ａ_ｍｐ－β・Ｅ_ｍｐ）に対して
（Ａ_ｍｐ－β・Ｅ_ｍｐ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ
（Ａ_ｍｐ－β・Ｅ_ｍｐ）Ｂ_ｐ＝（α－β）Ｂ_ｍ
一方、任意のベクトルＤ_ｐは、
Ｄ_ｐ＝ｂ・Ｂ_ｐ＋ｃ・Ｃ_ｐ
とあらわせる。
すると、任意のベクトルＤ_ｐに対して、
（Ａ_ｎｍ－β・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ
＝（Ａ_ｎｍ－β・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（ｂ・Ｂ_ｐ＋ｃ・Ｃ_ｐ）
＝（Ａ_ｎｍ－β・Ｅ_ｎｍ）ｃ・（β－α）Ｃ_ｍ
＝０_ｎ
この行列（Ａ_ｎｍ－β・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）は、任意のベクトルＤ_ｐを０ベクトルに変換するので、０行列です。すなわち、
（Ａ_ｎｍ－β・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）＝０_ｎｐ
（この形の式は、式(4)(5)(6)の変数ｘを行列Ａに置き換えたケイリー・ハミルトンの定理の式を因数分解した式です。）

（重根の場合、すなわち、α＝βとなる場合）
固有ベクトルＢ_ｐに対して、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｂ_ｐ＝０_ｍ　　（式９）
になりますが、
行列（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）は、
任意のベクトルＦ_ｐを、以下のように、ベクトルＢ_ｐの定数倍に変換します。
（証明開始） 
行列（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）によるベクトルＦ_ｐの変換結果のベクトルは、以下の式１０であらわせる。すなわち、
（１）ベクトルＦ_ｍがベクトルＢ_ｍと線形独立な場合は、ベクトルＦ_ｍとベクトルＢ_ｍを用いて、　
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｆ_ｐ＝ｇＦ_ｍ＋ｈＢ_ｍ　　（式１０）
とあらわせる。
（２）また、ベクトルＦ_ｍがベクトルＢ_ｍと線形独立で無くベクトルＢ_ｍの定数倍の場合は、ｇ＝０、ｈ＝０とあらわせて、やはり式１０であらわせる。

（仮定）ここで、ｇ≠０と仮定すると、

式９により、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（ｈ／ｇ）Ｂ_ｐ＝０_ｍ　　（式１１） 
式１０と式１１を足し合わせると、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（Ｆ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｂ_ｐ）＝ｇＦ_ｍ＋ｈＢ_ｍ　，
Ａ_ｍｐ（Ｆ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｂ_ｐ）＝（α＋ｇ）・（Ｆ_ｍ＋（ｈ／ｇ）Ｂ_ｍ）
この式は、ベクトル（Ｆ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｂ_ｐ）が行列Ａ_ｍｐにより（α＋ｇ）倍に変換されることをあらわしているので、
α＋ｇが固有値であることになる。
一方、固有値は重根であって、αのみであるので、
ｇ＝０
になる。
しかし、ｇ≠０と仮定していたので、これと矛盾する。
よって、ｇ≠０とする仮定は不適。
∴　ｇ＝０
任意のベクトルＦに関する式１０は、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｆ_ｐ＝ｈＢ_ｍ
（証明おわり）

このため、任意のベクトルＦ_ｐについて、

（Ａ_ｎｍ－α・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｆ_ｐ＝（Ａ_ｎｍ－α・Ｅ_ｎｍ）（ｈ・Ｂ_ｍ）
＝０_ｎ
すなわち、
（Ａ_ｎｍ－α・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）＝０_ｎｐ

よって、α≠βの場合も、α＝βの場合も、
（Ａ_ｎｍ－β・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）＝０_ｎｐ
Ａ_ｎｍＡ_ｍｐ－（α＋β）Ａ_ｎｐ＋α・βＥ_ｎｐ＝０_ｎｐ
根αとβと係数の関係をあらわす式５と式６を代入すると、
Ａ_ｎｍＡ_ｍｐ－（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｎｐ＋（Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_２１Ａ_１２）Ｅ_ｎｐ＝０_ｎｐ

 これが、２行２列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理です。

【３行３列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理】
２行２列の行列の場合と同様に、３行３列の行列についても、
変数ｘに関して以下の行列を作ります。
Ａ_ｍｐ－ｘ・Ｅ_ｍｐ
そして、この行列の行列式を０にする変数ｘの値を求めます。
ε_ｍｐｒ（Ａ_ｍ１－ｘＥ_ｍ１）（Ａ_ｐ２－ｘＥ_ｐ２）（Ａ_ｒ３－ｘＥ_ｒ３）＝０　（式１２）

 

この方程式は３次方程式になります。その３つの解をαとβとγとすると、以下の式であらわせます。
（α－ｘ）（β－ｘ）（γ－ｘ）＝０　　　（式１３）

《なお、この式から、
αβγ＝（Ａの行列式），
という関係があることがわかります。
更に、
α＋β＋γ＝（行列Ａの対角成分の和），
という関係があることもわかります。》

一方、行列Ａ_ｍｐに関しては、２行２列の行列と同様に、以下の関係が成り立ちます。
（Ａ_ｎｍ－γ・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｓ－β・Ｅ_ｍｓ）（Ａ_ｓｐ－α・Ｅ_ｓｐ）＝０_ｎｐ
この式１３を展開した式を求めるには、行列式１２を展開した３次方程式を求めて、

その３次方程式の、
ｘ^３をＡ_ｎｍＡ_ｍｓＡ_ｓｐに置き換え、
ｘ^２をＡ_ｎｍＡ_ｍｐに置き換え、
ｘをＡ_ｎｐに置き換え、
係数項は単位行列Ｅ_ｎｐの係数倍に置き換える
ことで求めることができます。
これが３行３列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理です。

《ケイリー・ハミルトンの定理の応用》
３行３列の行列のケイリー・ハミルトンの定理：
（Ａ_ｎｍ－γ・Ｅ_ｎｍ）（Ａ_ｍｓ－β・Ｅ_ｍｓ）（Ａ_ｓｐ－α・Ｅ_ｓｐ）＝０_ｎｐ
が成り立つので、
（Ａ_ｎｍ－γ・Ｅ_ｎｍ）の行列が、
２つの行列の積（Ａ_ｍｓ－β・Ｅ_ｍｓ）（Ａ_ｓｐ－α・Ｅ_ｓｐ）で得た行列の列ベクトルＢを０ベクトルに変換する。
そのため、その２つの行列を掛け合わせて得た行列の列ベクトルＢは、固有値γの固有ベクトルである。
そのため、この行列（Ａ_ｍｓ－β・Ｅ_ｍｓ）（Ａ_ｓｐ－α・Ｅ_ｓｐ）の計算によっても、固有値γの固有ベクトルが計算できる。（これによって固有ベクトルを求める方法は、固有ベクトル用の行列の余因子行列が０行列になって固有ベクトルが求められないときに有用な方法である）

《応用例１》
１,　１，1
-１，１，０
１， ０，１
の行列の固有値は、以下の式で求められる。
(１－λ)³＝０，
その結果、λ＝１という、３重の固有値１が求められる。
そのため、ケイリー・ハミルトンの定理によって、
０,　１，1
-１，０，０
１， ０，０
の行列を３回掛け合わせると０行列になるケイリー・ハミルトンの定理の式が得られる。
そして具体的に計算するとその通りになり、３回掛け合わせて初めて０行列になる。
また、この行列を２回掛け合わせて得た行列を下図に示す。

その積の結果の行列の列ベクトルに固有値１に対する固有ベクトルが表れている。

《応用例２》
２,　１，1
０，１，０
０， ０，１
の行列の固有値は、以下の式で求められる。
(２－λ)(１－λ)²＝０，
その結果、λ＝２という固有値２と、λ＝１という、２重の固有値１が求められる。
そのため、ケイリー・ハミルトンの定理によって、以下の図の３つの行列の積が０行列になる。

そうではあるが、この事例の場合は、以下の図の２つの行列の積だけで既に０行列になっていた。


そのため、以下の図のように、それぞれの行列（元の行列から、固有値倍した単位行列を引き算した行列）の列ベクトルに相手側の側の行列に係る固有値の固有ベクトルが表れている。

すなわち、固有値１に対する固有ベクトルが（元の行列から、単位行列の２倍を引き算した行列の列ベクトルに）２つ現れ、固有値２に対する固有ベクトルが（元の行列から、単位行列の１倍を引き算した行列の列ベクトルに）１つ表れている。

（蛇足）
試験問題として、ケイリー・ハミルトンの定理を用いて行列のべき乗の計算を簡略化する問題が頻繁に出題されています。

 行列のべき乗があらわれる場合は、電流Ｉと電圧Ｖを変換する電子回路を重ねた場合に、その変換をあらわす行列が、個々の変換のべき乗になります。




リンク：
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次