勉強しよう数学3C: 行列の固有値が重根の場合の固有ベクトル

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
２行２列の行列の場合は、固有値λは、以下の行列式を０にするλを計算することで求められます。
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
ここで、行列Ｅ_ｓｐは単位行列です。
また、そのλの解（固有値）α、β毎に、固有ベクトルがあります。

すなわち、行列は、固有値毎のあるベクトル（固有ベクトル）を固有値倍にします。

一方λの解が重根である場合、すなわち、α＝βの場合は、単位行列に比例する行列でなければ、
固有値αに対応する固有ベクトルは１つしか無い。
（固有ベクトルが２つ無ければ、その行列は対角化できない異常な行列です。その行列は、対角化できないが、ここをクリックした先のサイトのように三角化はできる。）

（注意）単位行列に比例する行列や０行列の場合は、例外的に、全方向のベクトルが固有ベクトルであり、固有値の重複した数と同じ２つの固有ベクトルを持つことに注意。
３行３列の行列において、固有値が重複し、かつ、その重複した数と同じ数の固有ベクトルを持つ行列の例は、ここをクリック先のページの行列Ｂを参照。

《第１の例》
考え易くするために、λ＝α＝β＝０となる行列Ａ_ｓｐを考える。
そのような場合の行列Ａ_ｓｐの例を下図に示す。

ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）
＝（Ａ_１１－λ）（Ａ_２２－λ）－Ａ_１２Ａ_２１
＝（１－λ）（－１－λ）＋１＝λ^２＝０

この行列の余因子行列Ｃ_ｐｔは、上図のように求められる。
よって、この行列Ａ_ｓｐは、余因子行列の列ベクトル

をλ＝０倍の０ベクトルに変換する。この列ベクトル

が固有ベクトルである。

一方、行列Ａ_ｓｐは、ベクトル

を、

に変換する。
すなわち、固有値０に対する固有ベクトルに平行な、固有ベクトルの（－ａ－ｂ）倍の、ベクトルに変換する。
すなわち、列ベクトル（ａ，ｂ）に対して、列ベクトル（－１，１）に垂直な列ベクトル（－１，－１）との内積（－ａ－ｂ）を計算して、その値を列ベクトル（－１，１）に掛け算した列ベクトルを求める、という変換を行なうのです。

行列Ａ_ｓｐが任意の列ベクトル

を固有ベクトルに平行なベクトルに変換した後で再度行列Ａ_ｓｐで変換すれば、それは０ベクトルになる。

同様に、λ＝α＝β＝０となる２行２列の行列Ａ_ｓｐは、どの行列も、
その行列で任意のベクトルを変換すれば、固有値が０の固有ベクトルに平行なベクトルに変換し、
２重に変換すれば、任意のベクトルを０ベクトルに変換する。
任意のベクトルを０ベクトルに変換する元の行列は０行列である。すなわち、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔ＝０_ｓｔ
である。

【第１の証明】
このことの証明を簡単に行なうには、ケイリー・ハミルトンの定理を先に証明しておいて、ケイリー・ハミルトンの定理を使って、これを証明するのが良いように考える。

（証明開始）
２行２列のケイリー・ハミルトンの定理は、固有値αとβに関して、
（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）（Ａ_ｐｔ－βＥ_ｐｔ）＝０_ｓｔ
である。
このα＝β＝０の場合は、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔ＝０_ｓｔ
になる。
また、Ａ_ｓｐの余因子行列Ｃ_ｍｔの列ベクトルをＣ_ｔとすると、それは、固有値α＝β＝０の固有ベクトルであるから、
Ａ_ｓｐＣ_ｐ＝０_ｓ
また、任意のベクトルＤ_ｔに関して、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔＤ_ｔ＝０_ｓ
∴
Ａ_ｐｔＤ_ｔは、行列Ａ_ｓｐで０ベクトルに変換される固有ベクトルＣ_ｐに平行なベクトルである。
（証明おわり）

【第２の証明】
（証明開始）
重根の場合、すなわち、α＝β＝０となる場合に、
１つの固有ベクトル
（Ｃ_１１，　Ｃ_２１）＝（－１，１）≡Ｃ_ｐ
が得られ、その固有ベクトルに対して、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ　　（式１）
になる。

次に、行列（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）による任意のベクトルＤ_ｐの変換結果のベクトルは、以下の式２であらわせる。すなわち、
（１）ベクトルＤ_ｍがベクトルＣ_ｍと線形独立な場合は、ベクトルＤ_ｍと固有ベクトルＣ_ｍを用いて、　
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ＝ｇＤ_ｍ＋ｈＣ_ｍ　　（式２）
とあらわせる。
（２）また、ベクトルＤ_ｍがベクトルＣ_ｍと線形独立で無くベクトルＣ_ｍの定数倍の場合は、ｇ＝０、ｈ＝０とあらわせて、やはり式２であらわせる。

（仮定）ここで、ｇ≠０と仮定すると、

式１により、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ　　（式３）
が得られる。
この式３を式２に足し合わせると、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）＝ｇＤ_ｍ＋ｈＣ_ｍ　，
Ａ_ｍｐ（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）＝（α＋ｇ）・（Ｄ_ｍ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｍ）　（式４）
式４は、ベクトル（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）が行列Ａ_ｍｐにより（α＋ｇ）倍に変換されることをあらわしているので、
α＋ｇが固有値であることになる。
一方、固有値は重根であって、αのみであるので、
ｇ＝０
になる。
しかし、ｇ≠０と仮定していたので、これと矛盾する。
よって、ｇ≠０とした最初の仮定が不適である。
∴　ｇ＝０

任意のベクトルＦに関する式２は、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ＝ｈＣ_ｍ
∴
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｔは、行列Ａ_ｓｐで０ベクトルに変換される固有ベクトルＣ_ｐに平行なベクトルである。
（証明おわり）

《第２の例》
固有値が１の重根を持つ行列Ａ：