大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式
【解説】
座標値（ｘ，ｙ）であらわされるベクトルを、左回りに角度θ回転させて、座標値（ｘ’，ｙ’）であらわされるベクトルにする変換をあらわすと以下の式になります。
ｘ’＝（ｃｏｓθ）ｘ－（ｓｉｎθ）ｙ
ｙ’＝（ｓｉｎθ）ｘ＋（ｃｏｓθ）ｙ
この変換は、以下のように行列Ａｓｐであらわされています。
Ｘ’ｓ＝ＡｓｐＸｐ
ただし、この表記方法はアインシュタインの行列の積の表記方法です。通常の行列表現は以下のものです。
そして、ベクトル及び行列の各要素は以下の通りです。
ｘ’１＝ｘ’
ｘ’２＝ｙ’
ｘ１＝ｘ
ｘ２＝ｙ
Ａ１１＝ｃｏｓθ
Ａ１２＝－ｓｉｎθ
Ａ２１＝ｓｉｎθ
Ａ２２＝ｃｏｓθ
この行列Ａｓｐは回転変換をあらわしますが、この行列は、あるベクトル（固有ベクトル）をλ倍にする変換でもある。
λは、以下の行列式を０にするλ（それを固有値と呼ぶ）を計算することで求められます。
εｓｐ（Ａｓ１－λＥｓ１）（Ａｐ２－λＥｐ２）＝０
ここで、行列Ｅｓｐは単位行列です。
また、そのλの解（固有値）α、β毎に、
（１）λの解α（＝固有値）については、
行列（Ａｓｐ－αＥｓｐ）の余因子行列Ｃｐｔを計算し、その余因子行列Ｃｐｔの列だけを取り出した列ベクトルＣｐ１（又はＣｐ２）が、
（Ａｓｐ－αＥｓｐ）Ｃｐ１＝０ｓ
（０ｓは０ベクトル）
ＡｓｐＣｐ１＝α・ＥｓｐＣｐ１＝α・Ｃｓ１
を満足する。Ｃｐ１がα倍になる。
Ｃｐ１が固有ベクトルである。
Ｃｐ２もα倍になる固有ベクトルであるが、Ｃｐ１に平行なベクトルであるので、Ｃｐ１を求めるのもＣｐ２を求めるのも同じことである。
（２）λの解β（＝固有値）については、
行列（Ａｓｐ－βＥｓｐ）の余因子行列Ｃ’ｐｔを計算し、その余因子行列Ｃ’ｐｔの列だけを取り出した列ベクトルＣ’ｐ１（又はＣ’ｐ２）が、
ＡｓｐＣ’ｐ１＝β・Ｃ’ｓ１
を満足する。
Ｃ’ｐ１（又はＣ’ｐ２）が固有ベクトルである。
（３）固有値を具体的に求める
εｓｐ（Ａｓ１－λＥｓ１）（Ａｐ２－λＥｐ２）＝０
（ｃｏｓθ－λ）（ｃｏｓθ－λ）＋（ｓｉｎθ）（ｓｉｎθ）＝０
λ２－２（ｃｏｓθ）λ＋１＝０
（λ－ｃｏｓθ）２＝－ｓｉｎ２θ
（λ－ｃｏｓθ）＝±ｉ・ｓｉｎθ
λ＝ｃｏｓθ±ｉ・ｓｉｎθ
α＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ
β＝ｃｏｓθ－ｉ・ｓｉｎθ
（４）この固有値αに対する行列（Ａｓｐ－αＥｓｐ）の余因子行列Ｃｐｔを計算する。
Ａ１１－αＥ１１＝－ｉ・ｓｉｎθ
Ａ１２－αＥ１２＝－ｓｉｎθ
Ａ２１－αＥ２１＝ｓｉｎθ
Ａ２２－αＥ２２＝－ｉ・ｓｉｎθ
余因子行列Ｃｐｔは、
Ｃ１１＝－ｉ・ｓｉｎθ
Ｃ１２＝ｓｉｎθ
Ｃ２１＝－ｓｉｎθ
Ｃ２２＝－ｉ・ｓｉｎθ
よって、固有ベクトルは、
（－ｉ・ｓｉｎθ， －ｓｉｎθ）
ｓｉｎθ≠０のとき、
－ｓｉｎθで割り算して、もっと簡単にした固有ベクトルは、
（ｉ， １）
（注意）ｓｉｎθ＝０の場合、この割り算計算は（０で割り算するので）無効です。ｓｉｎθ＝０の場合、すなわち、回転角度が０の場合の行列Ａｓｐの固有ベクトルが（ｉ， １）であるかかどうかが定まりません。実際、回転角度が０の場合の行列Ａｓｐは単位行列Ｅｓｐになりますが、その固有ベクトルは、あらゆる方向のベクトル全てが固有ベクトルになります。（注意おわり）
この固有ベクトルに左から行列Ａｓｐを掛け算すると、
（ｉ・ｃｏｓθ－ｓｉｎθ， ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）
＝（ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）（ｉ， １）＝α（ｉ， １）
（５）固有値βに対する行列（Ａｓｐ－βＥｓｐ）の余因子行列Ｃｐｔを計算する。
Ａ１１－βＥ１１＝ｉ・ｓｉｎθ
Ａ１２－βＥ１２＝－ｓｉｎθ
Ａ２１－βＥ２１＝ｓｉｎθ
Ａ２２－βＥ２２＝ｉ・ｓｉｎθ
余因子行列Ｃｐｔは、
Ｃ１１＝ｉ・ｓｉｎθ
Ｃ１２＝ｓｉｎθ
Ｃ２１＝－ｓｉｎθ
Ｃ２２＝ｉ・ｓｉｎθ
よって、固有ベクトルは、
（ｉ・ｓｉｎθ， －ｓｉｎθ）
ｓｉｎθ≠０のとき、
ｓｉｎθで割り算して、もっと簡単にした固有ベクトルは、
（ｉ， －１）
この固有ベクトルに左から行列Ａｓｐを掛け算すると、
（ｉ・ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ， ｉ・ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）
＝（－ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）（ｉ， －１）＝β（ｉ， －１）
リンク：
追加講：三角形の面積と行列式
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