外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。

（既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる）

【証明１】
　このベクトルＯＨが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。

ここで、ベクトルｈがベクトルａである場合には、ベクトルＡＨが０ベクトルになってしまい、ベクトルＡＨの方向が定まらない、その場合は、ベクトルＢＨとベクトルＣＡとが直交することを示すことに替える。

ここで、ベクトルｈがベクトルｃである場合には、ベクトルＣＨが０ベクトルになってしまい、ベクトルＣＨの方向が定まらない、その場合は、ベクトルＢＨとベクトルＣＡとが直交することを示すことに替える。

　以上の計算により、ＣＨがＡＢに垂直で、かつ、ＡＨがＢＣに垂直なので、Ｈは三角形ＡＢＣの垂心である。
（証明１おわり）

【証明２】
　先ず、以下の式が成り立つ。

次に、以下の式で点Ｈをあらわす。

先ず、点Ｈ≠点Ａである場合を考える。

次に、点Ｈ≠点Ｂである場合を考える。

次に、点Ｈ≠点Ｃである場合を考える。

　ここで、点Ｈ＝点Ａの場合は、点Ｈ≠点Ｂ，かつ、点Ｈ≠点Ｃになるので、上記の３つ式のうちのベクトルＨＢの式とベクトルＨＣの式との２つの式から、点Ｈが２つの垂線の交点になる。
　点Ｈ＝点Ｂの場合は、点Ｈ≠点Ｃ，かつ、点Ｈ≠点Ａになるので、上記の３つ式のうちのベクトルＨＣの式とベクトルＨＡの式との２つの式から、点Ｈが２つの垂線の交点になる。
　点Ｈ＝点Ｃの場合は、点Ｈ≠点Ａ，かつ、点Ｈ≠点Ｂになるので、上記の３つ式のうちのベクトルＨＡの式とベクトルＨＢの式との２つの式から、点Ｈが２つの垂線の交点になる。
　以上の結果、いかなる場合でも、点Ｈが２つの垂線の交点になるので、点Ｈは垂心である。
（証明２おわり）

（補足１）
　この問題は、外心を原点にした場合に、垂心の位置ベクトルが、各頂点の位置ベクトルの和で計算できる事を示しています。

（補足２）
　この式から、頂点Ａの位置ベクトルに対する垂心Ｈの位置ベクトルが下図の関係にある。

すなわち、垂心の位置Ｈは、頂点Ａの位置に対して、外心Ｇから線分ＢＣまでの垂直ベクトルの２倍だけ下がった位置にある。

（補足３）
　この、垂心の位置ベクトルの式は、点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルの係数の和が１ではない（位置ベクトルの公式を満足していない）ように見える。しかし、この式は、以下の図の、外心の位置Ｇを含む位置ベクトルの式であらわせ、位置ベクトルの公式を満足する。


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