2014年2月5日水曜日

外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。


(既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる)

(証明)
 このベクトルOHが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。


CHがABに垂直で、かつ、AHがBCに垂直なので、Hは三角形ABCの垂心である。
(証明おわり)


(補足)
 この問題は、外新を原点にした場合に、垂心の位置ベクトルが、各頂点の位置ベクトルの和で計算できる事を示しています。

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