2014年2月5日水曜日

外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。


(既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる)

(証明)
 このベクトルOHが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。


CHがABに垂直で、かつ、AHがBCに垂直なので、Hは三角形ABCの垂心である。
(証明おわり)


(補足1)
 この問題は、外心を原点にした場合に、垂心の位置ベクトルが、各頂点の位置ベクトルの和で計算できる事を示しています。

(補足2)
 この式から、頂点Aの位置ベクトルに対する垂心Hの位置ベクトルが下図の関係にある。

すなわち、垂心の位置Hは、頂点Aの位置に対して、外心Gから線分BCまでの垂直ベクトルの2倍だけ下がった位置にある。

(補足3)
 この、垂心の位置ベクトルの式は、点A,B,Cの位置ベクトルの係数の和が1ではない(位置ベクトルの公式を満足していない)ように見える。しかし、この式は、以下の図の、外心の位置Gを含む位置ベクトルの式であらわせ、位置ベクトルの公式を満足する。


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1 件のコメント:

  1. これが知りたかった! 半径を考えるのか…
    ありがとうございます

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