美しい数学：２変数の式の因数分解が解のかなめ

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【問い】
以下の図の原点ＯとＡ（１，０）とＢ（０，１）に対して点Ｐが、以下の関係の位置にある。
ＯＰ：ＡＰ：ＢＰ＝１：ａ：ｂ
とする。 ここで、ａ≧０，ｂ≧０，である。

このとき、点Ｐが存在するためのａ，ｂに対する条件を求め、ａｂ平面に図示せよ。


【解答の方針】
　この問題の最善の解答は、ここをクリックした先のページに書きました。

　それ以外の解答方法として、以下のようにＯＰをベクトルで与え、その点Ｐの座標をａ，ｂであらわす方程式を立てることで計算できます。
　そうすれば、ウェブサイトなどの通常の解答例で紹介されている、ａを一定にしてＰ点の描く円とｂを一定にしてＰ点の描く円との交差を判定して解を得るという煩雑な計算を避けることができます。

【解答】
　以下のように、Ｐ点の座標ＰｘとＰｙとａとｂとの関係をあらわす方程式を設定します。
ここで、計算の見通しを良くするため、ａやｂの少し複雑な式はただちにαやβで置き換えて、方程式を極力単純な形であらわします。
αやβであらわせる式は、ａとｂであらわせる式です。
（これをしないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります）

次に、ＰｘとＰｙをあらわすパラメータｓを導入して、方程式①と②を同じ１つの式③であらわします。そして、ＰｘとＰｙを式④と⑤のようにｓであらわします。
（このように単純化していかないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります）

そして、ｓであらわしたＰｘとＰｙを式③に代入することでｓの２次方程式が得られます。

（例外条件での解の計算）
　割り算して式③を得た割り算した項α＝（ａ^２－１）とβ＝（ｂ^２－１）とは、０で無いことが前提になっています。その項α＝（ａ^２－１）とβ＝（ｂ^２－１）が０であった場合の例外条件の解は以下のように計算できます。
（１）ここで、αやβの一方が０で他方が０で無いときは、他方のパラメータに関しては③が成立しますので、以項の計算でパラメータの条件が得られて解が得られます。
（２）また、αとβの両方が０の場合、それは、ａ＝１，ｂ＝１を意味し、
そして、式④と⑤から得られるＰｘ＝１／２，Ｐｙ＝１／２という解が存在します。

　更に式をパラメータγを使って単純化します。
αやβやγであらわせる式は、ａとｂであらわせる式です。

そして、ｓの２次方程式のｓの解の式を平方完成により計算します。

こうして平方完成することで、ｓをα、β、γから求める解の式ができあがりました。このｓの解を式④と⑤に代入すると点Ｐの座標ＰｘとＰｙをα、β、γであらわす式が得られます。

　ｓが実数解を持つとき、ＰｘとＰｙが実数であらわせます。点Ｐの座標が実数になる必要十分条件はｓが実数解を持つことです。そして、ｓが実数解を持つための必要十分条件はｑ^２≧０です。
その、ｑ^２≧０となる条件を以下で計算します。
　以下の計算は技巧的ですが、この技巧が無ければこの問題は解けません。
この計算技術を必ずおぼえてください。
　この計算のポイントは、
（１）（α＋１）（β＋１）の項ができるように、αβの項を残して割り当てること。
（２）α＋１がａ^２であり、β＋１がｂ^２であることを良く意識すること。

これで、ｑ^２を因数分解する準備が整いました。
以下で、これを因数分解して、ａとｂに必要な条件を求めます。

上の図で、ａとｂが正の領域が解の条件（ａ≧０，ｂ≧０）の範囲です。
この範囲には、例外条件で得た解の、（ａ，ｂ）＝（１，１）という解も包含されています。
（解答おわり）

（補足）
　ここで、ｑ^２の式はαとβであらわしてあったので比較的に因数分解がしやすくなっていました。この式をａとｂだけであらわして因数分解する場合は、以下の式になります。この場合の解き方のコツは、（ａ^２＋ｂ^２）の関数で大部分の項をあらわすようにすると、解けます。

（補足２）
　ｑ^２の式をａとｂだけであらわして因数分解する場合は、以下のようにしてａ^２の２次式に形を整理して解くこともできました。

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