美しい数学：美しい問題の種

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 

【問１】　以下の式を因数分解せよ。
ｘ^４－７ｘ^２＋１

【美しい計算方法の例】

以下の計算方法は解き方が美しいです。
そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれません。

【別解：苦労する解き方】
多くの人は以下のように計算するのではないかと思います。
しかし、以下の計算方法はとても苦労し、美しくありません。

ここで二重根号が出てきました。
これは、以下の様に計算して簡単な根号の和に変換します。
（１）最初の２項にある二重根号の簡単化

（２）最後の２項にある二重根号の簡単化

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：平方完成の検算

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【検算の参考例】
以下の式を平方完成して、その検算の１例を示します。

上の式は、以下のように検算できます。

この検算方法が優れている点は以下の点にあります。
２つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。
（１）検算の計算が間違っている。
（２）検算された対象の式の計算が間違っていた。
このどちらなのかを決定しなければなりません。
  しかし、元の式の計算の誤り箇所がなかなか発見できず、（１）の可能性が疑われる場合があります。
その場合は、以下のように代入する数値を変えて、もう１度検算すると良いです。そうすると検算の誤りも検算することができます。

リンク：
高校数学の目次

微分を利用して平方完成する公式

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】
以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。

上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。

（例題１）
以下の式を平方完成します。

　この解の方針に従って、以下のように計算します。

（第２の場合）
　ｘの２乗の項が２つ以上ある場合は、以下のように計算します。

　このように計算すると、平方完成の計算を、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

（普通の平方完成の計算の方が速い場合）
　しかしながら、以下の式の場合のように、既に式がきれいな式に展開済みの場合は、
普通の平方完成の計算の方が速く答えを計算できます。

文字係数ｋが混ざっている式の場合は、通常の平方完成の計算の方が楽です。

　どの計算方法が最も速く答えを出せるか、状況に応じて使い分けてください。

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：放物線と直線の交点

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】

　上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。

【交点の座標ｘの計算方法】
　先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のｘ座標ｓを計算します。

　次に、そのｘ＝ｓの位置での放物線のｙ座標と直線のｙ座標とを計算します。

（放物線の係数）（ｘ－ｓ）^２＝（直線のｙ座標）－（放物線のｙ座標）
の式により、交点の座標Ｘが求められます。

　この式は、直線と放物線の式を連立させて解くことで得られる式と同じ式です。
方程式を解くよりも以上のやり方で計算する方が、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：ベクトルの内積の不等式

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】

　上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。
　ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの不等式になります。

【問題】
　固定ベクトルａに対して、任意のベクトルｐに対して以下の方程式を成り立たせるベクトルｂの解が必ず存在するものとする。
　この条件を満足するベクトルａの範囲を求めよ。

【解答】　

　この式の解が存在するためのベクトルａの範囲は上の式で与えられる半径１以下の円内の点です。
（解答おわり）

　この問題の出題意図は、以下のように考えられます。
　ベクトルの問題に限らず、数学の複雑な問題はコンピュータを利用して解きます。
　そのとき、コンピュータを使用する人間に求められる大切な能力は、
（１）コンピュータが正しく答えを出せるような、コンピュータが解ける問題をコンピュータに与えているかどうかの判断力。
（２）コンピュータの出した答えが間違っていないか、その答えの概要を予測する能力。
です。
　この問題は、その「答えの予測力」を問う問題です。
　出題者の意図通りに、「答えの予測力」を示した解答を書くようにしましょう。

　ベクトルａが半径１の円の外にある場合における「答えの予測」も、以下のように予測できるようになりましょう。

ベクトルａが半径１の円の外にある場合は、上の式のように、解を与えるベクトルｐが制限されます。この条件が満足されないベクトルｐに対してはベクトルｂをどのように選んでも方程式を満足させることができず、解が存在しません。

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：計算のメリハリ

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

（計算で注意する点）
　普段は解ける問題が、試験会場では以下に示す計算のメリハリを忘れて、問題が解けなくなる人がいます。
　試験の場で、計算のメリハリを忘れることのないように、普段から計算のメリハリを意識するようにしましょう。

【問１】

　上図で、Ｙ軸上の点Ａを中心にする円が左右の双曲線に点Ｂと点Ｃで接しています。
この場合に、三角形ＡＢＣが正三角形になるような円の中心のＹ座標ａが存在する条件を求めよ。

【解答】
　以下のように計算していきますが、以下に示すように、言われなくても常に、方程式の解が存在する条件に注意して計算にメリハリを付けるように心がけましょう。

　この式の解が存在するための条件は上の式ですが、
メリハリの無い計算をしていると、この上の式があらわれたときに、その解の存在条件を考えずに、この式が解のカギであるという式の意味を見落としてしまうことがあります。
　この意味を見落として、この式を素通りして、他の式の計算に迷い込んで答えが得られない泥沼に陥る恐れが出てきます。
　そのため、メリハリのある計算で、常に解の存在条件を（言われなくても）意識して計算するようにしましょう。

ただし、ｂ≠０

これで、三角形ＡＢＣを正三角形にできる条件が得られました。
（解答おわり）

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：解が存在する条件の計算

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【解が存在する条件の計算】
（注意点）
　数学の方程式の解が存在するための条件を求める問題は、以下の形の式に変形して解きます。

　この式の解が存在するための条件は：

です。
　ここで、露わに２乗の形であらわした式は正又は０であることがわかるので扱いやすいです。
　しかし、露わにはわからないが、恒等的に正又は０である式があります。そういう式を早期に発見する注意が必要です。そういう式は限られていますので、どの式がその条件を満足しているか覚えてしまいましょう。
　以下で、ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）が正又は０である式の場合を示します。

　ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）が恒等的に正又は０であることがわかれば、問題を解く主な注意を残りの項ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）に向け、その項を因数分解することで、方程式の解の存在条件の式を求めます。

　上の式の項ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）は、ｈ（ａ^２，ｂ^２，ｃ^２）による三角形の面積の二乗の式（にマイナスを掛け算した式）が変形された式ですので、その場合の公式として覚えていた因数分解のパターンを思い出して書くことで瞬時に因数分解できました。
　以下に、より具体的に変形された式ｈ（ｘ，ｙ）の場合の因数分解の例を示します。

　こうして、式ｇ（ｘ，ｙ）が恒等的に正又は０である式であることに早期に気付いて、問題を解く注意を式ｈ（ｘ，ｙ）を因数分解する方に向けます。そして、ｈ（ｘ，ｙ）を因数分解して、方程式の解が存在する条件を求める計算を進めます。

（参考）
　以下に、ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）の因数分解の計算を示します。 

この因数分解は、ｘ，ｙ，ｚを入れ替えた形の他の２つの解もあります。
　上の式でｘ，ｙ，ｚの値がマイナスの場合には、その値の平方根は複素数になります。

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：三角形の面積の式の因数分解

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】
　以下の図の三角形の面積Ｓの二乗を三角形の複数の辺であらわす式と同じ形の式が問題の中に隠れてあちこちで出現します。
　そのため、この形の式を変換した式をみな覚えてしまってください。
　そうすれば、それらの式を変形計算しなければならない問題に直面したときに、計算間違いを正して正しい答えにたどりつくことができるようになります。

　この面積Ｓの２乗に（－１）を掛け算した式が以下のように変形できます。

　最初の因数分解された形の式が、この式①の形の式になることを覚えてください。

　更に式を変形すると以下の式になります。 

　最初の因数分解された形の式が、この式②の形の式になることを覚えてください。

【式①の応用】
　以下のように、三角形の面積を求めるとき、式①の形で三角形の面積の２乗を与える定理が利用できます。

【式②の形の式を因数分解する計算】
　この式②を因数分解する場合は、以下のように計算することで、式③が得られることを覚えてください。
　そうすれば、この式②を因数分解する問題に直面したときに、計算間違いをせずに正しく因数分解して式③を得ることができるようになります。

　この式③のパラメータａ，ｂ，ｃを入れ替えた式も、式③に等しい式です。

　この式③は更に因数分解できて以下の式④になることを覚えてください。 

【変形した形の式②を因数分解する問題】
　式②の形が以下のように変形された形であらわれた場合も因数分解できるようになってください。

【変形した形の式②を因数分解する問題（その２）】
　以下のように変形された形の式も因数分解できるようになってください。 

　ここで、式⑤の形の式が、以下の式⑥と同じ式であることが意識できるように、式⑤と同じ式のバラエティ（式③のパラメータａ，ｂ，ｃを置き換えた式が全部同じこと）を覚えてください。

リンク：
高校数学の目次

美しい数学：２変数の式の因数分解が解のかなめ

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【問い】
以下の図の原点ＯとＡ（１，０）とＢ（０，１）に対して点Ｐが、以下の関係の位置にある。
ＯＰ：ＡＰ：ＢＰ＝１：ａ：ｂ
とする。 ここで、ａ≧０，ｂ≧０，である。

このとき、点Ｐが存在するためのａ，ｂに対する条件を求め、ａｂ平面に図示せよ。


【解答の方針】
　この問題の最善の解答は、ここをクリックした先のページに書きました。

　それ以外の解答方法として、以下のようにＯＰをベクトルで与え、その点Ｐの座標をａ，ｂであらわす方程式を立てることで計算できます。
　そうすれば、ウェブサイトなどの通常の解答例で紹介されている、ａを一定にしてＰ点の描く円とｂを一定にしてＰ点の描く円との交差を判定して解を得るという煩雑な計算を避けることができます。

【解答】
　以下のように、Ｐ点の座標ＰｘとＰｙとａとｂとの関係をあらわす方程式を設定します。
ここで、計算の見通しを良くするため、ａやｂの少し複雑な式はただちにαやβで置き換えて、方程式を極力単純な形であらわします。
αやβであらわせる式は、ａとｂであらわせる式です。
（これをしないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります）

次に、ＰｘとＰｙをあらわすパラメータｓを導入して、方程式①と②を同じ１つの式③であらわします。そして、ＰｘとＰｙを式④と⑤のようにｓであらわします。
（このように単純化していかないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります）

そして、ｓであらわしたＰｘとＰｙを式③に代入することでｓの２次方程式が得られます。

（例外条件での解の計算）
　割り算して式③を得た割り算した項α＝（ａ^２－１）とβ＝（ｂ^２－１）とは、０で無いことが前提になっています。その項α＝（ａ^２－１）とβ＝（ｂ^２－１）が０であった場合の例外条件の解は以下のように計算できます。
（１）ここで、αやβの一方が０で他方が０で無いときは、他方のパラメータに関しては③が成立しますので、以項の計算でパラメータの条件が得られて解が得られます。
（２）また、αとβの両方が０の場合、それは、ａ＝１，ｂ＝１を意味し、
そして、式④と⑤から得られるＰｘ＝１／２，Ｐｙ＝１／２という解が存在します。

　更に式をパラメータγを使って単純化します。
αやβやγであらわせる式は、ａとｂであらわせる式です。

そして、ｓの２次方程式のｓの解の式を平方完成により計算します。

こうして平方完成することで、ｓをα、β、γから求める解の式ができあがりました。このｓの解を式④と⑤に代入すると点Ｐの座標ＰｘとＰｙをα、β、γであらわす式が得られます。

　ｓが実数解を持つとき、ＰｘとＰｙが実数であらわせます。点Ｐの座標が実数になる必要十分条件はｓが実数解を持つことです。そして、ｓが実数解を持つための必要十分条件はｑ^２≧０です。
その、ｑ^２≧０となる条件を以下で計算します。
　以下の計算は技巧的ですが、この技巧が無ければこの問題は解けません。
この計算技術を必ずおぼえてください。
　この計算のポイントは、
（１）（α＋１）（β＋１）の項ができるように、αβの項を残して割り当てること。
（２）α＋１がａ^２であり、β＋１がｂ^２であることを良く意識すること。

これで、ｑ^２を因数分解する準備が整いました。
以下で、これを因数分解して、ａとｂに必要な条件を求めます。

上の図で、ａとｂが正の領域が解の条件（ａ≧０，ｂ≧０）の範囲です。
この範囲には、例外条件で得た解の、（ａ，ｂ）＝（１，１）という解も包含されています。
（解答おわり）

（補足）
　ここで、ｑ^２の式はαとβであらわしてあったので比較的に因数分解がしやすくなっていました。この式をａとｂだけであらわして因数分解する場合は、以下の式になります。この場合の解き方のコツは、（ａ^２＋ｂ^２）の関数で大部分の項をあらわすようにすると、解けます。

（補足２）
　ｑ^２の式をａとｂだけであらわして因数分解する場合は、以下のようにしてａ^２の２次式に形を整理して解くこともできました。

リンク：
高校数学の目次