大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式
【解説】
（１）対角行列Ｔと行列の積が交換可能な行列は対角行列です。
（２）行列Ａと行列Ｂの積ＡＢとＢＡとは、同じ固有値を共有する行列です。
（３）また、行列式が０では無い行列で、その固有値の値が重解を持たない行列Ａは、その固有値毎に固有ベクトルを計算して、
その固有ベクトルを並べた行列Ｐｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｃｕｋに変換できます。
Ｐ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋ＝Ｃｕｋ ←ＡｓｔＰｔｋＸｋ＝ＰｓｕＣｕｋＸｋ
また、行列Ｐを用いてそのようにお互いに変換できる行列同士は、同じ固有値を持ちます。
これらの原理を利用して、以下の問題を解くことができます。
【問題】
行列Ａと行列Ｂがあるとき、
行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄとが与えられた場合に、元の行列ＡとＢを求める問題を考えます。
この問題では、行列は全て２行２列の行列であるものとします。
（条件１）この行列ＡとＢは、その行列式が０では無く逆行列が存在するものとします。
この行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは以下のように、行列Ａ（あるいは行列Ｂ）を用いて互いに変換できます。
行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄは、行列Ａを用いて互いに変換できるので、同じ固有値を持ちます。
行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄは固有値が共通であるので、この行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄのバラエティを記述するパラメータの数は、行列Ａの４つのパラメータと行列Ｂの４つのパラメータの合計の８よりも２つパラメータが減って、６つのパラメータでＣとＤとのあらゆる場合が記述できます。
パラメータが減ってしまっているので、行列ＣとＤだけでは情報が不足しているので、それだけでは、行列ＡとＢを完全に再現することはできません。行列ＣとＤのみからでは、行列ＡとＢがパラメータの自由度２で不定になります。
以下では、その不定性があっても良いものとして、行列ＡとＢを可能な限り逆算してみます。
以下の行列式を計算することで、行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄとが共有する固有値と、その固有値を持つ対角行列Ｔを計算することができます。
そして、以下のように、その固有値を持つ対角行列Ｔを行列Ｃに変換する行列Ｐを計算、対角行列Ｔを行列Ｄに変換する行列Ｑを計算します。
以下で、式４から行列Ａを与える式６を計算し、式５から行列Ａを与える式７を計算し、式６と式７を連立して行列Ａを消去する計算をします。
ここで、行列Ｑ－１ＢＰ＝Ｖとします。
この行列Ｖと対角行列Ｔとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Ｔと積が交換可能な行列Ｖは対角行列になります。
上式８のように、行列Ｂが対角行列Ｖを用いてあらわせます。
同様にして、 式４から行列Ｂを与える式９を計算し、式５から行列Ｂを与える式１０を計算し、式９と式１０を連立して行列Ｂを消去する計算をします。
ここで、行列Ｐ－１ＡＱ＝Ｗとします。
この行列Ｗと対角行列Ｔとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Ｔと積が交換可能な行列Ｗは対角行列になります。
そして、以下の式１１のように、行列Ａが対角行列Ｗを用いてあらわせます。
この式８と式１１を用いて行列の積ＡＢ＝Ｃを計算すると、以下の関係式１２を得ます。
すなわち、式１２のように、対角行列Ｔは対角行列ＷとＶの積です。また、対角行列同士の積は交換可能です。
ここで、行列の積ＢＡ＝Ｄを計算すると、式５の関係が満足されています。
対角行列ＶとＷには、それ以上の制限条件がありません。
すなわち、任意の対角行列Ｖを自由に定めて、式１２を満足するように対角行列Ｗを定めれば、それだけで、ＡＢ＝Ｃを与える式４と、ＢＡ＝Ｄを与える式５が満足されます。
（解答）任意な対角行列Ｖと、式１２を満足する対角行列Ｗを用いて、式１１で行列Ａが与えられ、式８で行列Ｂが与えられる。
【検算】
任意の対角行列Ｖを用いて行列ＡとＢが与えられるということが、本当に間違いなく成り立っているかを確かめるために、以下の検算をします。
検算のために、行列ＡとＢが以下の場合を考える。
この場合に、行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄの固有値を以下の様に計算すると、行列ＣとＤの固有値が同じであることが確認できます。
これで対角行列Ｔが定まりました。
次に、行列ＡＢ＝Ｃを対角行列Ｔに変換する行列Ｐを計算します。
次に、行列ＢＡ＝Ｄを対角行列Ｔに変換する行列Ｑを計算します。
次に、対角行列ＷとＶを自由に変えて（ただし式１２を満足させて）、それにより定まるＡとＢが、どれも同じ行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを与えるかどうかを確認します。
（第１の場合）
先ず、対角行列ＷとＶを以下のように定めて行列ＡとＢを計算します。
この行列ＡとＢは、元の行列ＡとＢとは異なる。
次に、この行列ＡとＢの積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを計算する。
行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは元どおりになった。
（第２の場合）
次に、対角行列ＷとＶを以下のように定めて行列ＡとＢを計算します。
この行列ＡとＢは元の行列と同じ行列が得られた。
（第３の場合）
次に、対角行列ＷとＶを以下のように定めて行列ＡとＢを計算します。
この行列ＡとＢは、元の行列ＡとＢとは異なる。
次に、この行列ＡとＢの積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを計算する。
行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは元どおりになった。
以上で、両者の積が対角行列Ｔになる任意の対角行列ＶとＷを設定することで、異なる行列ＡとＢの組が得られ、そのいずれの行列ＡとＢの組も、同じ行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを与えることが確かめられた。
以下のように、１つ目の対角行列Ｂと、ある行列Ａの積の行列と、積が交換された、その行列Ａと２つ目の対角行列Ｃの積の行列が等しいという条件が与えられているとする。
この式を計算すると以下の式になる。
この場合に、これらの行列の要素が以下の様に特定の値に制限される。
この関係を、仮に、
「２つの対角行列とある行列の積の交換の定理」
と名づける。
行列の問題を解く際に、この定理の条件を与える式が得られたら、その式の解は、以下のように解けることを覚えておくと便利だと思う。
（解の解説）
上の行列の方程式から、以下の関係が得られる。
この解１以外の解については、以下のように、式１から式４により変数が等しくされる関係を図に書いて考える。
（解８）行列Ａが０行列であって、対角行列ＢとＣは任意の行列であるという自明な解もある。
この問題では、以上のように、８個の場合分けされた解が得られる。
これらの解の特徴は、行列Ａが自由に設定できる場合は（解１）の場合だけで、その条件は、行列Ｂ＝Ｃ＝単位行列の定数倍のときである。
行列Ｂ＝Ｃ＝単位行列の定数倍という条件が無い場合には、行列Ａの少なくとも２つの要素が０になる。
（補足）
この問題の一部として、以下の場合が重要です。
すなわち、以下のように、単位行列の定数倍以外の対角行列Ｔと交換可能な行列Ａを考える。
ＴＡ＝ＡＴ
この行列の解は、上の解７であって、次の式のように行列Ａも対角行列になります。
このように、単位行列の倍数以外の対角行列と積が交換可能な行列は、対角行列のみです。
このことは、積が交換可能な行列は、その固有ベクトル（の方向）が同じであるという原理に結びついています。単位行列の倍数以外の対角行列の固有ベクトルは（１，０）と（０，１）だからです。
ちなみに、２行２列の行列に限っては、行列Ｔと交換可能な行列は、単位行列Ｅを用いて、ｃＴ＋ｄＥであらわせます。Ｔが対角行列の場合、ｃＴ＋ｄＥは対角行列になるから、対角行列Ｔと交換可能な行列は対角行列であると言えます。しかし、その話は２行２列の行列に限って成り立つ話です。一方、交換可能な行列は固有ベクトルが同じという原理は、ｎ行ｎ列の行列全てで成り立ちます。
