双曲線を円にする変換（その２）

 
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
双曲線は以下のようにして円に変換できます。
（これは、１次変換ではありませんが、便利な変換です。）

このように（Ｘ，Ｙ）座標を（Ｘ’，Ｙ’）座標に変換すると、双曲線が円に変換されて、（Ｘ’，Ｙ’）は円を描きます。
この座標変換の性質を以下のように調べると、以下のように、この座標変換は、直線は曲げずに直線のままに変換することがわかります。

このように、この変換は双曲線を円に変換し、直線は直線のままにします。
また、この変換の逆変換は、円を双曲線に戻すとともに、直線は直線のままに変換します。
そのため、円で成り立っていた以下の図の定理が、
円が双曲線に変換されるので、
双曲線でも成り立つことがわかります。

上の図の定理とは、
「点Ａ（極）に対する極線ＰＱ上の点Ｂを極にした極線ＲＢは、点Ａを通る。」
という定理です。
点Ａ（極）に対する極線とは、点Ａから円に引いた２つの接線による接点を結ぶ直線のことを極線と呼びます。
（この定理の証明は、ここをクリックしてジャンプする）




リンク：
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次