円は円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
双曲線を円に変換するのと同様にして、
円を円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換を考える。
そして、その変換を利用して、下図で示す、
「点Ａ（極）に対する極線ＰＱ上の点Ｂを極にした極線ＲＳは、点Ａを通る。」
という定理を証明する。

（証明開始）
上の図の円は円のままに変換し、
直線　Ｘ＝２　は、無限遠に移動させる変換を考える。
この円の式を以下のように、直線の式（Ｘ－２）＝０の左辺を分母にする式に変形する。

 上の式のように、あるパラメータｋとａを用いて式を変形し、
次に、その式の変形が恒等式になるようにパラメータｋとａを定める。

 上の計算により、
パラメータ　ａ＝－１／２に定まり、
 パラメータ　ｋ＝２／３に定まった。
このパラメータを代入して、式の変形を続ける。

上の計算で得られたＸ’とＹ’とに変換する場合は、
半径１の円は同じ半径１の円に変換される。
一方、
直線　Ｘ＝２
の上の全ての点は、無限遠に移動させられる。
それ以外の直線は、以下の計算でわかるように、直線は、折り曲げられずに、直線に変換される。

その計算をする準備として、座標ＸおよびＹを、Ｘ’とＹ’であらわす以下の式を計算する。
先ず、座標Ｘは以下のように計算する。

次に、座標Ｙは、以下のように計算する。

この座標ＸとＹであらわした直線は、以下のように計算すると、 座標Ｘ’とＹ’でも、直線になる。

 上の結果が示すように座標Ｘ’と座標Ｙ’でも直線になる。
すなわち、最初に示した円と直線とであらわされた図形は、以下の図形に変換される。

この図形で成り立つ円と直線の関係は、最初の図形でも成り立つ。
この図形では、直線ｍと直線ｎが無限遠点Ａ’で交わる。
（「平行線は無限遠点で交差する」という、射影幾何学の公理系に従う）

すなわち、無限遠点Ａ’を通り円に接する接線ｍとｎは互いに平行な線である。

次に、直線Ｒ’Ｓ’も無限遠点Ａ’を通ることを証明するために、
直線Ｒ’Ｓ’が接線ｍ及びｎと平行であることを証明する。
接線ｍと円との接点をＰ’とし、
接線ｎと円との接点をＱ’とする。
その点Ｐ’とＱ’とを結んだ直線は、円の中心点Ｏを通り、直線ｍ及び直線ｎに垂直な直線である。
直線Ｐ’Ｑ’上の点Ｂ’から円に２本の接線を引き、それぞれの接線と円との接点をＲ’とＳ’とする。
そうすると、
直角三角形△Ｂ’ＯＲ’と△Ｂ’ＯＳ’とでは、
斜辺Ｂ’Ｏが 共通であり、
１辺ＯＲ’＝ＯＳ’であるので、
△Ｂ’ＯＲ’≡△Ｂ’ＯＳ’
∴　∠Ｂ’ＯＲ’＝∠Ｂ’ＯＳ’
つまり、直線Ｐ’Ｑ’＝直線ＯＴは、
二等辺三角形△ＯＲ’Ｓ’の頂角∠Ｏを二等分する。
また、△ＯＲ’Ｓ’の
∠Ｒ’＝∠Ｓ’
であり、
∠Ｒ’＋∠Ｓ’＋∠Ｏ＝π
であるので、
△ＯＲ’Ｔの
∠Ｔ＝π－∠Ｒ’－（∠Ｏ／２）
＝π－∠Ｒ’－（π－２∠Ｒ’）／２
＝π／２
∴直線ＯＴ＝直線Ｐ’Ｑ’は直線Ｒ’Ｓ’に垂直である。
 そのため直線Ｒ’Ｓ’は直線ｍ及び直線ｎに平行である。

そのため、直線Ｒ’Ｓ’は直線ｍ及び直線ｎと無限遠点Ａ’で交わる。
（ここで、「平行な直線の束は同じ無限遠点１つで交わる」という射影幾何学の公理系に従って考えた）

無限遠点Ａ’は、最初の円の図形の点Ａを移動した位置である。
よって、
最初の図形においても、
直線ＲＳは、点Ａを通る。
（証明おわり）

（補足）
なお、射影幾何学は、通常の点（Ｘ，Ｙ）をあらわす射影座標（ｋＸ，ｋＹ，ｋ）と、
無限遠点をあらわす射影座標（α，β，０）とを用いて、
それらの点の間の変換を研究する幾何学です。
射影幾何学では、上の計算で、方程式の分母に置いた式は射影座標の３番目の座標に置いて計算します。
そうすると、上の座標変換の式が以下の行列であらわせます。

詳しくは射影幾何学の専門書を参照してください。

射影幾何学と数学者の夢について良い記事のブログがあったので紹介します。
「算数オリンピックの長尾賞」（小島寛之先生）
　若き天才数学者の人生と、「その若者に射影幾何学を教えた回顧」の話が感動的です。 
癌に侵された死の宣告を受けつつ数学の世界に慰めを見出して充実した生を全うし３１歳で亡くなった数学者の物語です。



リンク：
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