行列式の意味と計算方法

《目次》行列演算からベクトル解析まで

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▷行列式
▷行基本変形や余因子展開の計算方法

【行列式】
ケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味を理解するためには、先ず、「行列式」の意味を知る必要があります。

行列式は、ベクトルが張る図形の面積や体積を計算するものです（前のページで説明）。

「行列式」は、行の数と列の数が同じ正方行列の場合に計算できるものです。
（２行２列の行列の行列式）
２行２列の行列の行列式は、
その行列の要素が構成する２つの縦ベクトルが作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。

２行２列の行列Ａ_ｍｐの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２
で計算します。
この計算に利用する行列
ε_ｍｐ
は、ｍ≠ｐの場合の、
ε_１２＝１，
ε_２１＝－１
であり、それ以外の、ｍ＝ｐとなる、
ε_ｍｐ＝ε_１１＝ε_２２＝０
です。
行列式
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２
は、ベクトル（Ａ_１１，Ａ_２１）とベクトル（Ａ_１２，Ａ_２２）との作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。

行列式を具体的に計算すると、
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_２１Ａ_１２

です。
　なお、行列式の計算方法は、行と列を入れ替えても変わらない、行と列に関して対称な式になっています。
すなわち、行列式は、以下の式でも計算できます。
ε_ｍｐＡ_１ｍＡ_２ｐ


　以下で、行列式がベクトルの作る平行四辺形の面積を計算するものであることを説明します。
 
（一言で言うと、行列式の計算式を見ると、
１列目のベクトルに垂直で長さが同じベクトルと、２列目のベクトルとの内積の計算であることがわかります。
その計算は、１列目のベクトルを底辺として２列目のベクトルを斜辺とする平行四辺形の面積を計算するものです。
これで証明ができてしまいましたが、以下の証明も面白いので読んでください。）

以下のように、座標が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。

　Ｘ座標軸を回転させてＹ座標軸に重ねると、Ｙ座標軸はＸ座標軸の負の方向を向いて重なる。そのため、Ｘ成分にＹ成分を掛け算した結果を正にした場合、このように座標を回転させても面積が変わらないようにするには、必然的に、Ｙ成分にＸ成分を掛け算した結果を負にしなければならない。それで、計算規則が、行列式の計算規則に定まってしまうのです。

（平行四辺形の面積を１つ目のベクトルに垂直なベクトルと２つ目のベクトルの内積であらわす）
　三角形の面積Ｓは、以下の様に、ベクトルＡに垂直なベクトルＡ_ｖとベクトルＢの内積であらわすことができます。

（式１’が平行四辺形の面積２Ｓの公式）
こうして得た式１’は、先に計算した行列式による面積の計算式１ａと同じ式になりました。
　すなわち、２行２列の行列式は、ベクトルＡに垂直なベクトルＡ_ｖとベクトルＢの内積であらわすことができます。

（３行３列の行列式）
３行３列の行列の行列式は、その行列の要素が構成する３つの縦ベクトルが作る斜方体の体積をあらわすという意味を持ちます。

３行３列の行列Ａｍｐの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐｒを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
ε_ｍｐｒＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｒ３
で計算します。

この計算に利用する行列（正しくは、擬テンソルと呼ばれる）
ε_ｍｐｒ
は、ｍ≠ｐ、ｍ≠ｒ、ｐ≠ｒの場合の、
ε_１２３＝ε_２３１＝ε_３１２＝１
ε_２１３＝ε_３２１＝ε_１３２＝－１
であり、それ以外の
ε_ｍｐｒ＝０
です。
行列式
ε_ｍｐｒＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｒ３
は、ベクトル（Ａ_１１，Ａ_２１，Ａ_３１）とベクトル（Ａ_１２，Ａ_２２，Ａ_３２）とベクトル（Ａ_１３，Ａ_２３，Ａ_３３）との作る斜方体の体積をあらわすという意味を持ちます。

行列式を具体的に計算すると、
ε_ｍｐｒＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｒ３
＝Ａ_１１Ａ_２２Ａ_３３
＋Ａ_２１Ａ_３２Ａ_１３
＋Ａ_３１Ａ_１２Ａ_２３
－Ａ_２１Ａ_１２Ａ_３３
－Ａ_３１Ａ_２２Ａ_１３
－Ａ_１１Ａ_３２Ａ_２３

です。

 この行列式が斜方体の体積をあらわすので、３つの３次元ベクトルの先端と原点とを頂点とする三角錐の体積は、その３つの３次元ベクトルを３つの列ベクトルとする行列式の値を６分の１にした値になります。

 このように、行列式は、行列を構成するベクトルが作る面積や体積をあらわします。

（ｎ行ｎ列の行列式）
ε_{（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）}｛Ａ_{（ｐ１）１}Ａ_{（ｐ２）２}Ａ_{（ｐ３）３}・・・Ａ_{（ｐｎ）ｎ}｝
で計算します。
ここで用いた添え字がｎ個の行列（正式には、添え字２つのものを行列と呼び、添え字３つ以上のものはテンソルと呼ばれる）
ε_{（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）}は、以下の値を持ちます。
ε_{（１）（２）（３）・・・（ｎ）}＝１
この添え字の位置を交換すると（－１）倍になる。例えば、１と２を交換すると、
ε_{（２）（１）（３）・・・（ｎ）}＝－１
これらの添え字の位置を交換した要素以外は全て０です。例えば、
ε_{（１）（１）（３）・・・（ｎ）}＝０

【行列式は行と列を入れ替えても結果が同じ】
行列式は、計算の元になる行列の行と列に関して対称な計算式です。そのため、行と列を入れ替えた行列でも行列式は同じ値になります。

【行列式が０になる行列の性質】
　行列を列ベクトルに分割したとき、その列ベクトルが独立でなく、１つの列べクトルが他の列ベクトル（重みつき和）であらわせる場合は、行列式が０になります。

　（２行２列の行列の場合）
　例えば、２行２列の行列の場合は、行列式が０になる場合は、行列の２つの列ベクトルが、平行な２つのベクトルの場合です。

　この平行な２つのベクトルで構成する平行四辺形の面積は０です。
行列式はその面積をあらわすものなので、その行列式は０になります。

　（３行３列の行列の場合）
　３行３列の行列の場合は、行列式が０になる場合は、行列を構成する３つのベクトルが、同一平面上にある場合です。

　その３つのベクトルで構成される斜方体は、その平面上の高さが０であるので、体積が０です。
行列式はその体積をあらわすものなので、その行列式は０になります。

行列式は、そのうちの２つの行が同じ行ベクトルであると、行列式が０になります。２つの列が同じ列ベクトルの場合も０になります。

また、行列式が０になる行列は、あるベクトルを０ベクトルに変換する性質があります。後に説明する内容ですが、そのベクトルは、その行列の、値が０の固有値に対する固有ベクトルです。
そして、その固有ベクトルには、次のページで説明する余因子行列の列ベクトルが比例します。

なお、以下の行列式の積の計算は間違えやすい。

《行基本変形や余因子展開の計算方法》
【問１】
以下の行列式を計算せよ。


【解１】
　余因子展開法で３行３列の行列式（２つ）の和にする。
その、各３行３列の行列式は、 サラスの方法で簡単に求められる。

（解答おわり）

【解２】
　行列式の中の1行又は１列の中で、以下の式で赤〇で囲った１成分以外の他の成分が全て０になるようにうまく変形しつつ、１成分だけの余因子展開法を２段階に用いて解く。

上式の計算では、初めに、４行４列の行列式の中で、１列目に２列目のλ倍を加えることで、１行目の行の中を、赤〇で囲った１つの成分以外の全ての成分を０にする処理から計算を始めた。次に、その１行目の行に１成分だけの余因子展開法を用いた。
（解答おわり）

【問２】
以下の行列式を計算せよ。


【解答】
　その行列式の中の３列目で、以下の式で赤〇で囲った１成分以外の他の成分が全て０になるようにうまく変形しつつ、１成分だけの余因子展開法を用いて解く。
　先ず、２行目の３倍を１行目に足す。２行目を３行目に足す。
　次に、２行目のλ倍を３行目に足す。

（解答おわり）

【問３】
以下の行列式を計算せよ。


【解答】
行に他の行のｆ倍を足す計算を繰り返す。
先ず、４行目の-(X+2)倍を１行目に足す。
４行目を２行目に足す。
４行目の-2倍を３行目に足す。

ここで、

余因子展開法で
(-1)掛ける３行３列の行列式：

１行目に２行目の２倍を足す。

ここで、

余因子展開法で
(X+1)掛ける2行2列の行列式：

２行目の(-1)倍を１行目に足す。

ここで、

余因子展開法で

掛ける1行1列：

よって、行列式=

（解答おわり）

【問４】
以下の行列を行基本変形によって簡約化して、逆行列を計算せよ。


【解答】
　行に他の行の整数倍を足す計算を繰り返す。
（１）ある行を整数倍して他の行に加える処理により、行列の成分がなるべく小さい数になるように変えていく。
（２）行の成分の最大公約数で行を割り算する。
（３）ある行の成分の大きさが大きい場合は、他の行を引き算することで成分を（０にしなくても良いから）小さくする。

先ず、以下の行列を作成する。

２行目から３行目を引く。

２行目に１行目を足す。

３行目、１行目、２行目の順に行を並び変える。

１行目と２行目を２倍にして、簡約化係数を２倍に揃える。

２行目から３行目を引く。

１行目から２行目を引く。

これで、以下の逆行列が求められた。

この逆行列を元の行列に掛け算して単位行列になることを確認する。

（解答おわり）

【問５】
以下の複素数成分を持つ行列を行基本変形によって簡約化して、簡約行列を計算せよ。
[4-6i][6][2]
[-2][1-6i][6]
[6][-2][4-6i],

【解答】
　行に他の行の整数倍を足す計算を繰り返す。
（１）ある行を整数倍して他の行に加える処理により、行列の成分がなるべく小さい数になるように変えていく。
（２）行の成分の最大公約数で行を割り算する。
（３）ある行の成分の大きさが大きい場合は、他の行を引き算することで成分を（０にしなくても良いから）小さくする。

[4-6i][6][2]
[-2][1-6i][6]
[6][-2][4-6i],
１行目を２で割る。
３行目を２で割る。
[2-3i][3][1]
[-2][1-6i][6]
[3][-1][2-3i],
１行目に２行目を足す。
３行目に２行目を足す。
[-3i][4-6i][7]
[-2][1-6i][6]
[1][-6i][8-3i],
１行目に３行目の3i倍を足す。
２行目に３行目の２倍を足す。
[0][22-6i][16+24i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目を２で割る。
[0][11-3i][8+12i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目をi倍する。
[0][3+11i][-12+8i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目を２行目に足して２行目の成分の大きさを小さめにする。
[0][3+11i][-12+8i]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を１行目に足して１行目の成分の大きさを小さめにする。
[0][7+4i][-2+10i]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
１行目から２行目のi倍を引く。
[0][0][0]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を(4+7i)倍する。
[0][0][0]
[0][65][26+78i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を１３で割る。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[1][-6i][8-3i],
次の計算の準備のために、３行目を５倍にする。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[5][-30i][40-15i],
３行目に２行目の6i倍を足す。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[5][0][4-3i],
（簡約化処理おわり）

なお、この行列を以下の行列に変換する。
[1][0][(4-3i)/5]
[0][1][(2+6i)/5]
[0][0][0],
（変形おわり）
　この行列の一番右辺の列の列ベクトルの一番下の係数0を(-1)に変えて作った列ベクトルは、この行列によって０ベクトルに変換される。




リンク：
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次

回転した楕円の方程式

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

以下の説明は少し長くなります。回転した楕円の式を手っ取り早く求める方法を次ページに書きましたので、楕円の式のみに興味のある人は次のページに進んでください。
（ただし、このページの最後の、楕円の軸ベクトルの公式は見て欲しい。）

【解説】
直線を座標原点を中心に回転させる場合は、以下の図のように、回転した直線の方程式が求められます。

直線の式は、直線上の点の位置ベクトルと単位ベクトル

の内積が直線と原点との間の距離ｃであるという関係をあらわす式ですので、
直線を回転すると、その単位ベクトル

が回転します。

それで、回転した直線の式は単位ベクトル

を回転変換することで求められます。
座標（Ｘ，Ｙ）を（Ｘ’，Ｙ’）に変換する、回転変換の行列を

とします。 
また、その逆回りの（－θの）回転変換の行列は、

です。
次に、楕円を座標原点を中心に回転させる場合を、
以下の図で考える。


楕円の式は、楕円の軸をＸＹ座標軸に合わせるように回転を巻き戻した場合の式はわかっています。そのため、回転した楕円上の点（Ｘ，Ｙ）を、回転を巻き戻した楕円上の点（Ｘ’，Ｙ’）に変換して、その点のＸＹ座標を楕円の式であらわします。
回転した楕円上の点の座標（Ｘ，Ｙ）を（Ｘ’，Ｙ’）に変換する、回転の巻き戻し変換の行列は、直線の回転の場合と同じ、

です。 
以下では、この行列による座標の変換の式を楕円の式に代入して、その代入した式を変形することで回転した楕円の式を計算します。

すなわち、

以上の計算結果をまとめると、

こうして、回転した楕円をあらわす方程式が計算できました。
回転した楕円の方程式をあらわすために対称行列

を利用しました。

この楕円をあらわす方程式の左辺

は、

ベクトル

とべクトル

との内積を計算する式です。
すなわち、べクトル

を行列

で変換して作ったベクトル

と元のベクトル

との内積を計算する式です。
元のベクトル

が固有ベクトルのとき、
固有ベクトルは、
行列

で変換されると、
（行列の固有値λ）倍に拡大されます。 
その様に拡大された固有ベクトルと、元の固有ベクトルとの内積の計算結果は、
（元の固有ベクトルの長さの２乗）×（行列の固有値λ）
になります。
一方で、元のベクトル

が固有ベクトルでは無い場合は、

２行２列行列Ｆで変換されたベクトルは、元のベクトルとは平行ではありません。

楕円の式は、
位置ベクトル

を対称行列

で変換して作ったベクトルと元の位置ベクトルＸとの内積が１になる関係を満足する、
位置ベクトルＸの点の集合です。

《楕円を表す対称行列Ｆの行列式》
回転する前の楕円の式は、対称行列Ｆの替りに、以下の対称行列Ｄを利用して表された式です。

この、楕円が回転する前の対称行列Ｄと、
楕円が回転した後の対称行列Ｆとでは、
以下の式であらわす行列式の値が同じになります（この証明は省略します。読者の各自で証明しておいてください）。

そのため、回転した楕円の方程式を表す対称行列Ｆについて、上式で表す行列式を計算することで、
回転する前の楕円を表す対称行列Ｄの行列式がわかります。

回転する前の図形が双曲線の場合は、その双曲線を表す対称行列Ｄの行列式の値が負になり、楕円の場合では値が正になる事と区別できます。

《楕円の回転角度の計算》
次に、回転した楕円の式が与えられたとき、その楕円はどれくらいの角度回転した楕円であるか、その回転角度を楕円の式から計算する方法を考えます。
その方法は、以下の楕円の軸の性質を利用します。


なお、この軸ベクトル

は、楕円の（－θの）回転変換の行列の２列目の列ベクトル

です。

なお、この軸ベクトル

は、楕円の（－θの）回転変換の行列の１列目の列ベクトル

です。

以上のように、回転した楕円の軸ベクトルは、
対称行列

の固有ベクトルです。そのため、
対称行列

の固有ベクトルを計算すれば回転した楕円の回転角度がわかります。

なお、回転した楕円の軸の長さａとｂは、以下のように固有値λを計算して、固有値λの解の、

を得ることでわかります。

∴　固有値λの解の、

が得られました。

楕円の方程式は、固有ベクトルの方向では、
ベクトルの長さの２乗×固有値＝１ 
すなわち、
ベクトルの長さの２乗＝１／固有値
よって、そのベクトルの長さはａとｂです。

以下で、この固有値λ毎に固有ベクトルを計算します。

《１》
固有値λが

の場合：
行列

を計算する。

この行列は、固有ベクトルを０ベクトルに変換する、行列式が０である行列です。
行列式が０になる行列は、その余因子行列の縦ベクトルを０ベクトルに変換するので、
この固有値λを使って作ったこの行列の固有ベクトルは、その余因子行列の縦ベクトルに比例する。
そのため、この行列の余因子行列

を求める。
その行列Hは、以下の式になる。

この余因子行列Hの縦ベクトル

は、固有ベクトルに比例する。
詳しくは、以下の縦ベクトルである。

ここで、

の場合に、 このベクトルを

で割り算すると、

という固有ベクトルが得られる。
あるいは、

の場合に、

 を

で割り算すると、
同じく、

が固有ベクトルとして得られる。結局、

の場合に、

が固有ベクトルとして得られる。この固有ベクトルは、楕円の軸ベクトル

である。

《２》
固有値λが

の場合：
行列

は、
ａ→ｂ，ｂ→ａ，ｃｏｓθ→ｓｉｎθ，ｓｉｎθ→－ｃｏｓθという置き換えをしたら同じ式になるので、
固有値

の固有ベクトルの解を、そのように置き換えることで、
固有値

の固有ベクトルの解になる。
 ∴　固有ベクトルは、

これは、楕円の軸ベクトル

である。

（蛇足）
固有ベクトルを求めて楕円の回転角度を求める以外の方法で楕円の回転角度（－θ）を計算する方法として、以下のようにしても角度θを計算できる。

の場合に、

こうして、回転した楕円の式から、楕円の回転角度の２倍のタンジェントが計算できる。
この、楕円の回転角度２θの公式を導く方法として、固有ベクトルが同じ行列（対称変換行列）を計算することで、この公式を導くこともできる。

【楕円の軸ベクトル（固有ベクトル）の公式】
一方、以上の計算の結果の、対称行列Fの固有ベクトル（角度－θ方向の、楕円の軸の方向のベクトル）をあらわす公式は以下のようにあらわせる。上の蛇足の公式を覚えるよりは、以下の計算手順を含めた公式を覚える方が覚え易いのではないかとも考える。

以下の、回転した楕円をあらわす式が与えられた場合、

先ず、この式の元になっている対称行列Ｆの固有値λを以下の式で計算する。

この固有値λの各解毎に、以下のように固有値λに対応する固有ベクトルが計算できる。

ここで、固有ベクトルを表す上の式の右辺の第１項の単位ベクトルに比例する以下のベクトルを計算する。

その計算結果が上の式であることから、固有ベクトルを表す式の右辺の第１項の単位ベクトルは、上の式の係数を除去したベクトルです。

そのベクトルを使い、固有ベクトルを表す式の右辺を以下の式の左辺に表します。
以下の式の左辺のベクトルを計算すると右辺のベクトルになります。

この式の右辺のベクトルの係数を除去すると、先に計算した楕円の軸ベクトルの計算結果に一致します。

先に説明した蛇足の公式は、上の式の左辺の第１項の単位ベクトルに比例するベクトルのｘ座標とｙ座標の比を計算するものです。




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