2012年2月11日土曜日

追加講 三角形の面積と行列式

 

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

上図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形OABの面積を求めると以下の式になる。

△OAB=四角形OMPN-{△OMA+△OBN+△APB}
三角形の頂点Oを任意の座標位置にある頂点C(c,c)であるものとして、上の面積をあらわす公式を、3頂点A,B、Cの座標であらわすと、下の式になる。
この公式は、「クロス積」の形をしています。
「クロス積」は、正式な名前では、「行列式」と呼ばれています。
行列式は、その名前だけを高校3年の数学Cで学びます。
しかし、行列式が持つ以下の性質は、高校数学では教えないことになっているようです。

クロス積(行列式)は、Bの行にAの行の任意数(k)倍を足し算しても、値が変わらない。列も同様です。
(なお、クロス積は、行と列を入れ替えても値が変わりません)


例えば、下のようにBの行にAの行の(-1)倍を加えても、行列式の値は変わりません。 
このクロス積(行列式)は、下の形になります。
(式2)
さらに、一番上の行のみ(-1)を掛け算すれば、値が(-1)倍になります。その行列式全体に(-1)を掛け算したものは最初の行列式と値が同じ以下の形になります。
この行列式は、下図のように、点Aを中心として計算したクロス積(行列式)です。
このように、クロス積(行列式)は、値が同じ他の形のクロス積に容易に変換できるので、
クロス積(行列式)の形になった数式は「きれいな数式」です。
クロス積(行列式)の形の数式は、最も単純な形であらわせた数式と考えて良いです。

上の2つ前の(式2)の行列式に対して、一番上の行に、下の行を加えても、行列式の値は変わらず、以下の式になります。

結局、上の三角形の面積の公式のクロス積(行列式)の部分は、
(1)点Cを中心として計算したクロス積(行列式)
と、
(2)点Aを中心として計算したクロス積(行列式)
と、
(補足)この行列式全体に掛っている(-1)を無くすには、上の行と下の行を入れ替えて(-1)を取り除いた以下の行列式に置き換えてください。
行列式では2つの行を入れ替えれば符号が逆になるからです。(列の入れ替えでも同様)

(3)点Bを中心として計算したクロス式(行列式)
との、
値が同じ3種類のクロス積(行列式)であらわせますが、
そのどれもが、最も単純な式と考えてください。

そのクロス積(行列式)を展開した別の式を求めても、その式は単純では無い式になり、単純な形のクロス積(行列式)の形の表示から退化した形の式に変わってしまいます。




リンク:
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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