《目次》行列演算からベクトル解析まで
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▷行列式
▷行基本変形や余因子展開の計算方法
【行列式】
ケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味を理解するためには、先ず、「行列式」の意味を知る必要があります。
行列式は、ベクトルが張る図形の面積や体積を計算するものです（前のページで説明）。
「行列式」は、行の数と列の数が同じ正方行列の場合に計算できるものです。
（２行２列の行列の行列式）
２行２列の行列の行列式は、
その行列の要素が構成する２つの縦ベクトルが作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。
２行２列の行列Ａｍｐの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
εｍｐＡｍ１Ａｐ２
で計算します。
この計算に利用する行列
εｍｐ
は、ｍ≠ｐの場合の、
ε１２＝１，
ε２１＝－１
であり、それ以外の、ｍ＝ｐとなる、
εｍｐ＝ε１１＝ε２２＝０
です。
行列式
εｍｐＡｍ１Ａｐ２
は、ベクトル（Ａ１１，Ａ２１）とベクトル（Ａ１２，Ａ２２）との作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。
行列式を具体的に計算すると、
εｍｐＡｍ１Ａｐ２＝Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２
なお、行列式の計算方法は、行と列を入れ替えても変わらない、行と列に関して対称な式になっています。
すなわち、行列式は、以下の式でも計算できます。
εｍｐＡ１ｍＡ２ｐ
以下で、行列式がベクトルの作る平行四辺形の面積を計算するものであることを説明します。
（一言で言うと、行列式の計算式を見ると、
１列目のベクトルに垂直で長さが同じベクトルと、２列目のベクトルとの内積の計算であることがわかります。
その計算は、１列目のベクトルを底辺として２列目のベクトルを斜辺とする平行四辺形の面積を計算するものです。
これで証明ができてしまいましたが、以下の証明も面白いので読んでください。）
以下のように、座標が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
（平行四辺形の面積を１つ目のベクトルに垂直なベクトルと２つ目のベクトルの内積であらわす）
三角形の面積Ｓは、以下の様に、ベクトルＡに垂直なベクトルＡｖとベクトルＢの内積であらわすことができます。
こうして得た式１’は、先に計算した行列式による面積の計算式１ａと同じ式になりました。
すなわち、２行２列の行列式は、ベクトルＡに垂直なベクトルＡｖとベクトルＢの内積であらわすことができます。
（３行３列の行列式）
３行３列の行列の行列式は、その行列の要素が構成する３つの縦ベクトルが作る斜方体の体積をあらわすという意味を持ちます。
３行３列の行列Ａｍｐの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐｒを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
εｍｐｒＡｍ１Ａｐ２Ａｒ３
で計算します。
この計算に利用する行列（正しくは、擬テンソルと呼ばれる）
εｍｐｒ
は、ｍ≠ｐ、ｍ≠ｒ、ｐ≠ｒの場合の、
ε１２３＝ε２３１＝ε３１２＝１
ε２１３＝ε３２１＝ε１３２＝－１
であり、それ以外の
εｍｐｒ＝０
です。
行列式
εｍｐｒＡｍ１Ａｐ２Ａｒ３
は、ベクトル（Ａ１１，Ａ２１，Ａ３１）とベクトル（Ａ１２，Ａ２２，Ａ３２）とベクトル（Ａ１３，Ａ２３，Ａ３３）との作る斜方体の体積をあらわすという意味を持ちます。
行列式を具体的に計算すると、
εｍｐｒＡｍ１Ａｐ２Ａｒ３
＝Ａ１１Ａ２２Ａ３３
＋Ａ２１Ａ３２Ａ１３
＋Ａ３１Ａ１２Ａ２３
－Ａ２１Ａ１２Ａ３３
－Ａ３１Ａ２２Ａ１３
－Ａ１１Ａ３２Ａ２３
です。
（ｎ行ｎ列の行列式）
ε（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）｛Ａ（ｐ１）１Ａ（ｐ２）２Ａ（ｐ３）３・・・Ａ（ｐｎ）ｎ｝
で計算します。
ここで用いた添え字がｎ個の行列（正式には、添え字２つのものを行列と呼び、添え字３つ以上のものはテンソルと呼ばれる）
ε（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）は、以下の値を持ちます。
ε（１）（２）（３）・・・（ｎ）＝１
この添え字の位置を交換すると（－１）倍になる。例えば、１と２を交換すると、
ε（２）（１）（３）・・・（ｎ）＝－１
これらの添え字の位置を交換した要素以外は全て０です。例えば、
ε（１）（１）（３）・・・（ｎ）＝０
【行列式は行と列を入れ替えても結果が同じ】
行列式は、計算の元になる行列の行と列に関して対称な計算式です。そのため、行と列を入れ替えた行列でも行列式は同じ値になります。
【行列式が０になる行列の性質】
行列を列ベクトルに分割したとき、その列ベクトルが独立でなく、１つの列べクトルが他の列ベクトル（重みつき和）であらわせる場合は、行列式が０になります。
（２行２列の行列の場合）
例えば、２行２列の行列の場合は、行列式が０になる場合は、行列の２つの列ベクトルが、平行な２つのベクトルの場合です。
この平行な２つのベクトルで構成する平行四辺形の面積は０です。
行列式はその面積をあらわすものなので、その行列式は０になります。
（３行３列の行列の場合）
３行３列の行列の場合は、行列式が０になる場合は、行列を構成する３つのベクトルが、同一平面上にある場合です。
その３つのベクトルで構成される斜方体は、その平面上の高さが０であるので、体積が０です。
行列式はその体積をあらわすものなので、その行列式は０になります。
行列式は、そのうちの２つの行が同じ行ベクトルであると、行列式が０になります。２つの列が同じ列ベクトルの場合も０になります。
また、行列式が０になる行列は、あるベクトルを０ベクトルに変換する性質があります。後に説明する内容ですが、そのベクトルは、その行列の、値が０の固有値に対する固有ベクトルです。
そして、その固有ベクトルには、次のページで説明する余因子行列の列ベクトルが比例します。
なお、以下の行列式の積の計算は間違えやすい。
《行基本変形や余因子展開の計算方法》
【問１】
以下の行列式を計算せよ。
【解１】
余因子展開法で３行３列の行列式（２つ）の和にする。
その、各３行３列の行列式は、 サラスの方法で簡単に求められる。
（解答おわり）
【解２】
行列式の中の1行又は１列の中で、以下の式で赤〇で囲った１成分以外の他の成分が全て０になるようにうまく変形しつつ、１成分だけの余因子展開法を２段階に用いて解く。
上式の計算では、初めに、４行４列の行列式の中で、１列目に２列目のλ倍を加えることで、１行目の行の中を、赤〇で囲った１つの成分以外の全ての成分を０にする処理から計算を始めた。次に、その１行目の行に１成分だけの余因子展開法を用いた。
（解答おわり）
【問２】
以下の行列式を計算せよ。
【解答】
その行列式の中の３列目で、以下の式で赤〇で囲った１成分以外の他の成分が全て０になるようにうまく変形しつつ、１成分だけの余因子展開法を用いて解く。
先ず、２行目の３倍を１行目に足す。２行目を３行目に足す。
次に、２行目のλ倍を３行目に足す。
（解答おわり）
【問３】
以下の行列式を計算せよ。
【解答】
行に他の行のｆ倍を足す計算を繰り返す。
先ず、４行目の-(X+2)倍を１行目に足す。
４行目を２行目に足す。
４行目の-2倍を３行目に足す。
ここで、
余因子展開法で
(-1)掛ける３行３列の行列式：
１行目に２行目の２倍を足す。
ここで、
余因子展開法で
(X+1)掛ける2行2列の行列式：
２行目の(-1)倍を１行目に足す。
ここで、
余因子展開法で
掛ける1行1列：
よって、行列式=
（解答おわり）
【問４】
以下の行列を行基本変形によって簡約化して、逆行列を計算せよ。
【解答】
行に他の行の整数倍を足す計算を繰り返す。
（１）ある行を整数倍して他の行に加える処理により、行列の成分がなるべく小さい数になるように変えていく。
（２）行の成分の最大公約数で行を割り算する。
（３）ある行の成分の大きさが大きい場合は、他の行を引き算することで成分を（０にしなくても良いから）小さくする。
先ず、以下の行列を作成する。
２行目から３行目を引く。
２行目に１行目を足す。
３行目、１行目、２行目の順に行を並び変える。
１行目と２行目を２倍にして、簡約化係数を２倍に揃える。
２行目から３行目を引く。
１行目から２行目を引く。
これで、以下の逆行列が求められた。
この逆行列を元の行列に掛け算して単位行列になることを確認する。
（解答おわり）
【問５】
以下の複素数成分を持つ行列を行基本変形によって簡約化して、簡約行列を計算せよ。
[4-6i][6][2]
[-2][1-6i][6]
[6][-2][4-6i],
【解答】
行に他の行の整数倍を足す計算を繰り返す。
（１）ある行を整数倍して他の行に加える処理により、行列の成分がなるべく小さい数になるように変えていく。
（２）行の成分の最大公約数で行を割り算する。
（３）ある行の成分の大きさが大きい場合は、他の行を引き算することで成分を（０にしなくても良いから）小さくする。
[4-6i][6][2]
[-2][1-6i][6]
[6][-2][4-6i],
１行目を２で割る。
３行目を２で割る。
[2-3i][3][1]
[-2][1-6i][6]
[3][-1][2-3i],
１行目に２行目を足す。
３行目に２行目を足す。
[-3i][4-6i][7]
[-2][1-6i][6]
[1][-6i][8-3i],
１行目に３行目の3i倍を足す。
２行目に３行目の２倍を足す。
[0][22-6i][16+24i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目を２で割る。
[0][11-3i][8+12i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目をi倍する。
[0][3+11i][-12+8i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目を２行目に足して２行目の成分の大きさを小さめにする。
[0][3+11i][-12+8i]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を１行目に足して１行目の成分の大きさを小さめにする。
[0][7+4i][-2+10i]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
１行目から２行目のi倍を引く。
[0][0][0]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を(4+7i)倍する。
[0][0][0]
[0][65][26+78i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を１３で割る。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[1][-6i][8-3i],
次の計算の準備のために、３行目を５倍にする。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[5][-30i][40-15i],
３行目に２行目の6i倍を足す。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[5][0][4-3i],
（簡約化処理おわり）
なお、この行列を以下の行列に変換する。
[1][0][(4-3i)/5]
[0][1][(2+6i)/5]
[0][0][0],
（変形おわり）
この行列の一番右辺の列の列ベクトルの一番下の係数0を(-1)に変えて作った列ベクトルは、この行列によって０ベクトルに変換される。
リンク：
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次
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