バウムクーヘン積分と２重積分

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

積分の応用

【解説】
　バウムクーヘン積分により、立体の体積を計算する積分技術が教えられています。
　しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

例えば、以下のようにバウムクーヘン積分の式が与えられることを示す問題が東大の入試問題に出されたことがあるので、バウムクーヘン積分を当たり前の式として使ってはいけないと言う意見がありました。

【問題】
ｆ（ｘ）＝πｘ^２ｓｉｎ（πｘ^２）とする。
ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた図形をｙ軸のまわりに回転させてできる立体の体積Ｖは

で与えられることを示し、この値を求めよ。
（問題おわり）

　バウムクーヘン積分に言及して問題を解いても、そのバウムクーヘン積分を表現する数学の言葉で記述されないので、バウムクーヘン積分の概念を用いた解答が軽視されることもあるらしいです。
　バウムクーヘン積分をあらわす数学の言葉（タブー？）は、
「２重積分」です。

　２重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー（禁じ手）では無く、高校生が一旦２重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
　そのため、以下では、バウムクーヘン積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「２重積分」を使って計算する解答例（このように書けば合格点をもらえると思う）を示します。
　先に例示した東大の入試問題の前半部分に、２重積分を使って解答してみます。

（解答はじめ） 

 　求める立体の断面を上図に示す。ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された１単位を微小領域①とする。

　求める立体は、微小領域①をｙ軸のまわりに１回転して得られる細いドーナツ状の立体ΔＶを集合させた立体である。

細いドーナツ状の立体ΔＶの体積をΔＶとすると、

 ΔＶ＝（２π・ｘ）（ΔｘΔｙ）

である。

　微小領域①を断面に持つ細いドーナツ状の立体ΔＶを縦方向と横方向につないで、その断面がｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた領域を埋めるように集合させる。
その集合の体積Ｖは、
以下の式のように、細いドーナツ状の立体ΔＶの体積を、 一定のｘについてｙ方向に積分した上で、
更にｘ方向に積分する２重積分で計算できる。

  （解答おわり）

（補足）
　上記の式の１行目の式で、一番内側の積分∫(□)dyでの被積分関数(□)は、ｙで積分する場合には定数と扱える。なぜならば、その外側の積分がｘによる積分なので、外側の積分を未だ開始していない時点では、変数ｘの値は変化しないで所定値に留まっているから、ｘは定数と扱ってｙで積分している。そのため、被積分関数(□)＝定数に、変数ｙの積分範囲の長さを掛け算した値を計算して２行目の式が導かれている。

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