行列の交換子の２乗は単位行列に比例

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】 
行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋとは等しくない場合が多いですが、
行列Ａの行列式が０では無い場合は、
Ａ^－１_ｋｍ（Ａ_ｍｕＢ_ｕｓ）＝Ｂ_ｋｓ＝（Ｂ_ｋｍＡ_ｍｕ）Ａ^－１_ｕｓ
が成り立ちます。
このようにある行列ＣとＤが、
行列式が０では無い行列Ｐを介して、
ＰＣ＝ＤＰ
という関係がある場合は、
行列ＣとＤとは同じ固有値を持ち、行列Ｐによって互いに変換されます。
ＰＣＰ^－１＝Ｄ
Ｐ^－１ＤＰ＝Ｃ
そのため、 行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋとは同じ固有値を持ち、行列Ａ^－１_ｋｍによって互いに変換されます。

また 、行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）
です。
この関係は、アインシュタインの縮約記法であらわすと簡単に証明できます。
ｔｒ（ＡＢ）＝Ａ_ｍｕＢ_ｕｍ＝Ｂ_ｕｍＡ_ｍｕ＝ｔｒ（ＢＡ）
です。

更に、行列ＡやＢの行列式が０になる場合でも、
以下のようにして、
行列ＡＢ≡Ｆと、ＢＡ≡Ｇの固有値が等しいといえます。
行列Ｆの固有値λを求める式は、
ｄｅｔ（Ｆ－λＥ）＝０
（Ｆ_１１－λ） （Ｆ_２２－λ）－Ｆ_２１Ｆ_１２＝０
λ^２－ｔｒ（Ｆ）λ＋ｄｅｔ（Ｆ）＝０
ここで、
ｔｒ（Ｆ）＝ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）＝ｔｒ（Ｇ）
ｄｅｔ（Ｆ）＝ｄｅｔ（ＡＢ）＝ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｂ）＝ｄｅｔ（ＢＡ）＝ｄｅｔ（Ｇ）
λ^２－ｔｒ（Ｇ）λ＋ｄｅｔ（Ｇ）＝０
だから、行列ＦとＧは、固有値を求める式が同じになるから固有値が同じです。

この関係があるため、
交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃの対角成分の和は０になります。
ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）－ｔｒ（ＢＡ）＝０
ｔｒ（Ｃ）＝０
このため、２行２列の行列の交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃの場合は、
２行２列の行列のケイリー・ハミルトンの定理によって、 
Ｃ_ｗｕＣ_ｕｋ＋ｄｅｔ（Ｃ）Ｅ_ｗｋ＝ｔｒ（Ｃ）Ｃ_ｗｋ
の関係に、 ｔｒ（Ｃ）＝０を代入すると、
Ｃ_ｗｕＣ_ｕｋ＋ｄｅｔ（Ｃ）Ｅ_ｗｋ＝Ｏ_ｗｋ
Ｃ_ｗｕＣ_ｕｋ＝－ｄｅｔ（Ｃ）Ｅ_ｗｋ
すなわち、 行列の交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃを２乗した行列は単位行列に比例し、詳しくは－ｄｅｔ（Ｃ）倍になります。

【問題】
２行２列の行列ＡとＢが
ＡＢ－ＢＡ＝Ａ
をみたすとき、
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝Ｏ_ｗｋ
が成立することを示せ。

「入試数学伝説の良門１００」 
の問題９６の、３０８ページ「別解」

（解答はじめ）
ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）－ｔｒ（ＢＡ）＝０　（１）
２行２列のケイリー・ハミルトンの定理によって、
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＋ｄｅｔ（Ａ）Ｅ_ｗｋ＝ｔｒ（Ａ）Ａ_ｗｋ
（１）を代入する。
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝－ｄｅｔ（Ａ）Ｅ_ｗｋ　（２）
Ａ（ＡＢ－ＢＡ）＝Ａ（Ａ）
（ＡＢ－ＢＡ）Ａ＝（Ａ）Ａ
（Ａ^２Ｂ－ＡＢＡ）＋（ＡＢＡ－ＢＡ^２）＝２Ａ^２
Ａ^２Ｂ－ＢＡ^２＝２Ａ^２
（２）を代入する。
－ｄｅｔ（Ａ）Ｂ＋ｄｅｔ（Ａ）Ｂ＝２Ａ^２
－ｄｅｔ（Ａ）（Ｂ－Ｂ）＝２Ａ^２
Ｏ_ｗｋ＝２Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ
∴　Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝Ｏ_ｗｋ
（解答おわり）

（別解：地道に計算する方法）
行列の要素を添え字を付けてあらわすと、式がスラスラかける。

（解答はじめ）
（ＡＢ－ＢＡ）_ｗｋ＝Ａ_ｗｋ
Ａ_ｗｕＢ_ｕｋ－Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋ＝Ａ_ｗｋ 
Ａ_１１＝Ａ_１１Ｂ_１１＋Ａ_１２Ｂ_２１－Ｂ_１１Ａ_１１－Ｂ_１２Ａ_２１
Ａ_１１＝Ａ_１２Ｂ_２１－Ｂ_１２Ａ_２１　　（１）
Ａ_２２＝Ａ_２１Ｂ_１２＋Ａ_２２Ｂ_２２－Ｂ_２１Ａ_１２－Ｂ_２２Ａ_２２
Ａ_２２＝Ａ_２１Ｂ_１２－Ｂ_２１Ａ_１２　　（２）
Ａ_１２＝Ａ_１１Ｂ_１２＋Ａ_１２Ｂ_２２－Ｂ_１１Ａ_１２－Ｂ_１２Ａ_２２　（３）
Ａ_２１＝Ａ_２１Ｂ_１１＋Ａ_２２Ｂ_２１－Ｂ_２１Ａ_１１－Ｂ_２２Ａ_２１　（４）
（１）と（２）より、
Ａ_１１＝Ａ_１２Ｂ_２１－Ｂ_１２Ａ_２１＝－Ａ_２２　　（５）
（５）を（３）に代入してＡ_２２を消去する。
Ａ_１２＝Ａ_１１Ｂ_１２＋Ａ_１２Ｂ_２２－Ｂ_１１Ａ_１２＋Ｂ_１２Ａ_１１　（６）
Ａ_１２（１－Ｂ_２２＋Ｂ_１１）＝２Ａ_１１Ｂ_１２　　（７）
（５）を（４）に代入してＡ_２２を消去する。
Ａ_２１＝Ａ_２１Ｂ_１１－Ａ_１１Ｂ_２１－Ｂ_２１Ａ_１１－Ｂ_２２Ａ_２１　（８）
Ａ_２１（１－Ｂ_１１＋Ｂ_２２）＝－２Ａ_１１Ｂ_２１　（９）
（７）×Ａ_２１＋（９）×Ａ_１２
２Ａ_２１Ａ_１２＝２Ａ_１１（Ａ_２１Ｂ_１２－Ａ_１２Ｂ_２１）　（１０）
（１０）に（５）を代入する
２Ａ_２１Ａ_１２＝－２Ａ_１１Ａ_１１
Ａ_２１Ａ_１２＝－Ａ_１１Ａ_１１　　（１１）

次に、Ａ_ｗｕＡ_ｕｋの要素を順次に計算する。
Ａ_１ｕＡ_ｕ１＝Ａ_１１Ａ_１１＋Ａ_１２Ａ_２１
（１１）を代入して
Ａ_１ｕＡ_ｕ１＝０　　（１２）

Ａ_２ｕＡ_ｕ２＝Ａ_２１Ａ_１２＋Ａ_２２Ａ_２２
（１１）と（５）を代入して
 Ａ_２ｕＡ_ｕ２＝０　　（１３）

Ａ_１ｕＡ_ｕ２＝Ａ_１１Ａ_１２＋Ａ_１２Ａ_２２＝Ａ_１２（Ａ_１１＋Ａ_２２）
（５）を代入して
Ａ_１ｕＡ_ｕ２＝０　　（１４）

Ａ_２ｕＡ_ｕ１＝Ａ_２１Ａ_１１＋Ａ_２２Ａ_２１＝Ａ_２１（Ａ_１１＋Ａ_２２） 
（５）を代入して
Ａ_２ｕＡ_ｕ１＝０　　（１５）

∴　（１２）（１３）（１４）（１５）から
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝０_ｗｋ
（解答おわり）




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