2012年2月6日月曜日

座標の回転変換の式のおぼえかた


大学への数学Ⅲ&Cの勉強
行列と連立1次方程式


【解説】

(X,Y)の座標をあらわすベクトルを、左回りに角度θ回転させて、(X’,Y’)の座標をあらわすベクトルにする変換は以下の式になります。

X’=(cosθ)X-(sinθ)Y
Y’=(sinθ)X+(cosθ)Y

この変換の式のおぼえ方は、上の図を思い描いて、図から、

X座標のみがある場合のY’座標が(sinθ)・Xであること。
Y座標のみがある場合のX’座標が(-sinθ)・Yであること。

を想像する。
次に、それ以外は、係数がcosθの項を加えることで、回転変換の式ができあがります。

(補足)
三角関数の加法定理を知らないと回転行列が導き出せないという誤解が流通しているようですが、そのようなことはありません。
X座標のみがある場合のY’座標が(sinθ)・Xである。
X座標のみがある場合のX’座標が(cosθ)・Xである。

そのため、回転行列Aの要素は、
11=(cosθ)
21=(sinθ)
Y座標のみがある場合のX’座標が(-sinθ)・Yである。
Y座標のみがある場合のY’座標が(cosθ)・Yである。

そのため、回転行列Aの要素は、
12=(-sinθ)
22=(cosθ)
こうして、加法定理を使わずに、回転行列の全ての要素がわかります。


この回転行列が全てのベクトルを角度θ回転することの証明:
(1)全てのベクトルはX方向のベクトルとY方向のベクトルに分解されます。
(2)そして、その各々のベクトルが同じ角度θ回転します。
(3)そのため、その成分を合成したベクトルもまた角度θ回転します。 
(証明おわり)




リンク:
複素数平面での座標回転を応用した例
追加講:三角形の面積と行列式
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