追加講 三角形の面積と行列式

 

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）である三角形ＯＡＢの面積を求めると以下の式になる。

△ＯＡＢ＝四角形ＯＭＰＮ－｛△ＯＭＡ＋△ＯＢＮ＋△ＡＰＢ｝

三角形の頂点Ｏを任意の座標位置にある頂点Ｃ（ｃ_１，ｃ_２）であるものとして、上の面積をあらわす公式を、３頂点Ａ，Ｂ、Ｃの座標であらわすと、下の式になる。

この公式は、「クロス積」の形をしています。
「クロス積」は、正式な名前では、「行列式」と呼ばれています。
行列式は、その名前だけを高校３年の数学Ｃで学びます。
しかし、行列式が持つ以下の性質は、高校数学では教えないことになっているようです。

クロス積（行列式）は、Ｂの行にＡの行の任意数（ｋ）倍を足し算しても、値が変わらない。列も同様です。
（なお、クロス積は、行と列を入れ替えても値が変わりません）

例えば、下のようにＢの行にＡの行の（－１）倍を加えても、行列式の値は変わりません。 

このクロス積（行列式）は、下の形になります。

（式２）

さらに、一番上の行のみ（－１）を掛け算すれば、値が（－１）倍になります。その行列式全体に（－１）を掛け算したものは最初の行列式と値が同じ以下の形になります。

この行列式は、下図のように、点Ａを中心として計算したクロス積（行列式）です。

このように、クロス積（行列式）は、値が同じ他の形のクロス積に容易に変換できるので、
クロス積（行列式）の形になった数式は「きれいな数式」です。
クロス積（行列式）の形の数式は、最も単純な形であらわせた数式と考えて良いです。

上の２つ前の（式２）の行列式に対して、一番上の行に、下の行を加えても、行列式の値は変わらず、以下の式になります。

結局、上の三角形の面積の公式のクロス積（行列式）の部分は、
（１）点Ｃを中心として計算したクロス積（行列式）

と、
（２）点Ａを中心として計算したクロス積（行列式）

と、
（補足）この行列式全体に掛っている（－１）を無くすには、上の行と下の行を入れ替えて（－１）を取り除いた以下の行列式に置き換えてください。

行列式では２つの行を入れ替えれば符号が逆になるからです。（列の入れ替えでも同様）

（３）点Ｂを中心として計算したクロス式（行列式）

との、
値が同じ３種類のクロス積（行列式）であらわせますが、
そのどれもが、最も単純な式と考えてください。

そのクロス積（行列式）を展開した別の式を求めても、その式は単純では無い式になり、単純な形のクロス積（行列式）の形の表示から退化した形の式に変わってしまいます。

複素数平面を使うと「３つの複素数の交代式の簡単化公式」、このクロス積を展開してもさほど複雑では無い対称式でクロス積の内容をあらわすことができます。




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三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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行列の掛け算の定理

 
 
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
行列の掛け算はどういう演算に応用でき、どういう演算には応用できないかは、行列の掛け算の定理により定められます。
以下で、この行列の掛け算の定理を証明します。

 
（条件１）ベクトルＤが、以下の式１と式２によりベクトルＦに変換されること。その式の係数が行列Ａを成すこと。

式１と式２の演算の係数を添え字を付けて区別して式３で表します。
この式３は、式３’とあらわすと便利です。
この表し方はアインシュタインが提案した表記方法です（アインシャタインの縮約記法）。
この式３’は、変数で表した添え字の変数名が同じ場合に、その変数名の添え字のあらゆる場合（この場合は１と２のみ）について和をとることにした式です。

（条件２）ベクトルＦが、以下の式４と式５によりベクトルＧに変換されること。その式の係数が行列Ｂを成すこと。

式４と式５の演算の係数を添え字を付けて式６で表します。
この式６は、アインシュタインの縮約記法の式６’であらわせます。

式６’に式３’を代入すると式７が得られます。
式７は、更に式８に変形できます（式８はアインシュタインの縮約記法であらわした式です）。
式８’のように、演算Ａと演算Ｂを合成した演算Ｃを考えます。
式８から、演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素の値を計算する式９が得られます。
こうして、演算ＡとＢの行列の要素を用いた式９で演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素が計算できることがわかりました。

この演算Ｃを、式１０のように、演算Ａと演算Ｂの積（掛け算）と定義します。
そして、その演算Ａと演算Ｂの掛け算である演算Ｃの行列の要素は式９’で計算できます。
これが、行列の掛け算の定理です。

　すなわち、行列の掛け算の定理を、以下のようにあらわすことができます。
（条件１）ベクトルを式１～２でベクトルに変換する演算Ａの行列Ａが定義され、
（条件２）ベクトルを式４～５でベクトルに変換する演算Ｂの行列Ｂが定義されている場合に以下のことが成り立つ。
（結果）
　第１のベクトルを演算Ａで変換して第２のベクトルを得、更に、第２のベクトルを演算Ｂで変換して第３のベクトルを得る場合、
その２つの演算は、第１のベクトルを第３のベクトルに変換する演算Ｃにまとめることができる。
演算Ｃの行列Ｃは、式９’で計算することで求めることができる。
その演算Ｃを、演算Ａに演算Ｂを掛け算した演算であると定義する。
演算Ｃの行列の要素を計算する式９’の計算を、行列の掛け算と定義する。

【計算の形】
　なお、この掛け算の計算方式をベクトルＡとＢの内積にあてはめると、以下の形の行列の計算になる。

　この計算は、横ベクトルＡと縦ベクトルＢの積であらわせる。
　一方、アインシュタインの縮約記法では、ベクトルを縦ベクトルと横ベクトルの形に区別しないで内積の計算を表現できる。

 
 

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回転変換の行列の計算で三角関数の加法定理を得る

 

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】

（Ｘ，Ｙ）座標であらわされるベクトルを、左回りに角度θ回転させて、（Ｘ’，Ｙ’）座標であらわされるベクトルにする変換は以下の式になります。

Ｘ’＝（ｃｏｓθ）Ｘ－（ｓｉｎθ）Ｙ
Ｙ’＝（ｓｉｎθ）Ｘ＋（ｃｏｓθ）Ｙ
この変換は次式のように行列であらわせます。

θ＝α＋β
の場合、

（１）角度αの回転変換の行列（回転行列）は、行列をベクトルに掛け算してベクトルを得る式であらわされている。
（２）角度βの回転変換の行列（回転行列）も、行列をベクトルに掛け算してベクトルを得る式であらわされている。
（３）そのため、以下の、行列の掛け算の定理が成り立つ。
すなわち、
（Ａ）第１のベクトルに角度αの回転変換をして第２のベクトルを得、
（Ｂ）その第２のベクトルに角度βの回転変換を行って第３のベクトルを得る変換は、
（Ｃ）１つの行列であらわせる。
その行列は、
角度αの回転行列に角度βの回転行列を行列の掛け算計算で得た行列と等しい。

また、第１のベクトルに角度αの回転変換をして得た第２のベクトルに角度βの回転変換を行って第３のベクトルを得る変換は、θ＝α＋βの回転変換と同じである。

その回転行列を計算して比較すると、上式のように、三角関数の加法定理が得られます。

（補足）
なお、
（１）角度αの回転行列と角度βの回転行列を掛け合わせた計算計算結果に加法定理を適用すると角度（α＋β）の回転行列になるので、
（２）角度αの回転に角度βの回転を重ねると角度（α＋β）の回転になる
と説明されることがあるが、
その説明は本末転倒です。

角度αの回転に角度βの回転を重ねると角度（α＋β）の回転になるのは自明のことであって、
（１）その自明な事実に、
（２）２つの演算を重ね合わせた演算の行列は行列の掛け算によって導出できる行列の掛け算の定理を適用することで、
（３）加法定理という関係式が導き出されます。

定理とその定理から導出できる結果とは、その関係を逆転させて、結果から大元の定理を導き出すこともできます。
そのため、どの事実が自明で主となる事実であり、どの事実が従属的に分かる関係であるかを的確に判断する数学的センスが大切です。

（蛇足）
ここで、２θの回転行列とその２分の１の回転行列の要素の間には以下の関係があることを覚えておくと便利です。

 

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座標の回転変換の式のおぼえかた

《目次》行列演算からベクトル解析まで

【解説】

（Ｘ，Ｙ）の座標であらわすベクトルを、左回りに角度θ回転させて、（Ｘ’，Ｙ’）の座標であらわすベクトルにする変換は以下の式になります。

Ｘ’＝（ｃｏｓθ）Ｘ－（ｓｉｎθ）Ｙ
Ｙ’＝（ｓｉｎθ）Ｘ＋（ｃｏｓθ）Ｙ

この変換の式のおぼえ方は、上の図を思い描いて、図から、

Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘであること。
Ｙ座標のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙであること。

を想像する。
次に、それ以外は、係数がｃｏｓθの項を加えることで、回転変換の式ができあがります。

（補足）
三角関数の加法定理を知らないと回転行列が導き出せないという誤解が流通しているようですが、そのようなことはありません。
Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘである。
Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（ｃｏｓθ）・Ｘである。

そのため、回転行列Ａの要素は、
Ａ_１１＝（ｃｏｓθ）
Ａ_２１＝（ｓｉｎθ）
Ｙ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙである。
Ｙ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｃｏｓθ）・Ｙである。

そのため、回転行列Ａの要素は、
Ａ_１２＝（－ｓｉｎθ）
Ａ_２２＝（ｃｏｓθ）
こうして、加法定理を使わずに、回転行列の全ての要素がわかります。

この回転行列が全てのベクトルを左回りに角度θ回転することの証明：
（１）全てのベクトルはＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解されます。
（２）そして、その各々のベクトルが同じ角度θ回転します。
（３）そのため、その成分を合成したベクトルもまた角度θ回転します。 
（証明おわり）



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複素数平面での座標回転を応用した例
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行列演算からベクトル解析まで目次

行列の固有値が重根の場合の固有ベクトル

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
２行２列の行列の場合は、固有値λは、以下の行列式を０にするλを計算することで求められます。
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
ここで、行列Ｅ_ｓｐは単位行列です。
また、そのλの解（固有値）α、β毎に、固有ベクトルがあります。

すなわち、行列は、固有値毎のあるベクトル（固有ベクトル）を固有値倍にします。

一方λの解が重根である場合、すなわち、α＝βの場合は、単位行列に比例する行列でなければ、
固有値αに対応する固有ベクトルは１つしか無い。
（固有ベクトルが２つ無ければ、その行列は対角化できない異常な行列です。その行列は、対角化できないが、ここをクリックした先のサイトのように三角化はできる。）

（注意）単位行列に比例する行列や０行列の場合は、例外的に、全方向のベクトルが固有ベクトルであり、固有値の重複した数と同じ２つの固有ベクトルを持つことに注意。
３行３列の行列において、固有値が重複し、かつ、その重複した数と同じ数の固有ベクトルを持つ行列の例は、ここをクリック先のページの行列Ｂを参照。

《第１の例》
考え易くするために、λ＝α＝β＝０となる行列Ａ_ｓｐを考える。
そのような場合の行列Ａ_ｓｐの例を下図に示す。

ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）
＝（Ａ_１１－λ）（Ａ_２２－λ）－Ａ_１２Ａ_２１
＝（１－λ）（－１－λ）＋１＝λ^２＝０

この行列の余因子行列Ｃ_ｐｔは、上図のように求められる。
よって、この行列Ａ_ｓｐは、余因子行列の列ベクトル

をλ＝０倍の０ベクトルに変換する。この列ベクトル

が固有ベクトルである。

一方、行列Ａ_ｓｐは、ベクトル

を、

に変換する。
すなわち、固有値０に対する固有ベクトルに平行な、固有ベクトルの（－ａ－ｂ）倍の、ベクトルに変換する。
すなわち、列ベクトル（ａ，ｂ）に対して、列ベクトル（－１，１）に垂直な列ベクトル（－１，－１）との内積（－ａ－ｂ）を計算して、その値を列ベクトル（－１，１）に掛け算した列ベクトルを求める、という変換を行なうのです。

行列Ａ_ｓｐが任意の列ベクトル

を固有ベクトルに平行なベクトルに変換した後で再度行列Ａ_ｓｐで変換すれば、それは０ベクトルになる。

同様に、λ＝α＝β＝０となる２行２列の行列Ａ_ｓｐは、どの行列も、
その行列で任意のベクトルを変換すれば、固有値が０の固有ベクトルに平行なベクトルに変換し、
２重に変換すれば、任意のベクトルを０ベクトルに変換する。
任意のベクトルを０ベクトルに変換する元の行列は０行列である。すなわち、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔ＝０_ｓｔ
である。

【第１の証明】
このことの証明を簡単に行なうには、ケイリー・ハミルトンの定理を先に証明しておいて、ケイリー・ハミルトンの定理を使って、これを証明するのが良いように考える。

（証明開始）
２行２列のケイリー・ハミルトンの定理は、固有値αとβに関して、
（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）（Ａ_ｐｔ－βＥ_ｐｔ）＝０_ｓｔ
である。
このα＝β＝０の場合は、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔ＝０_ｓｔ
になる。
また、Ａ_ｓｐの余因子行列Ｃ_ｍｔの列ベクトルをＣ_ｔとすると、それは、固有値α＝β＝０の固有ベクトルであるから、
Ａ_ｓｐＣ_ｐ＝０_ｓ
また、任意のベクトルＤ_ｔに関して、
Ａ_ｓｐＡ_ｐｔＤ_ｔ＝０_ｓ
∴
Ａ_ｐｔＤ_ｔは、行列Ａ_ｓｐで０ベクトルに変換される固有ベクトルＣ_ｐに平行なベクトルである。
（証明おわり）

【第２の証明】
（証明開始）
重根の場合、すなわち、α＝β＝０となる場合に、
１つの固有ベクトル
（Ｃ_１１，　Ｃ_２１）＝（－１，１）≡Ｃ_ｐ 
が得られ、その固有ベクトルに対して、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ　　（式１）
になる。

次に、行列（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）による任意のベクトルＤ_ｐの変換結果のベクトルは、以下の式２であらわせる。すなわち、 
（１）ベクトルＤ_ｍがベクトルＣ_ｍと線形独立な場合は、ベクトルＤ_ｍと固有ベクトルＣ_ｍを用いて、　
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ＝ｇＤ_ｍ＋ｈＣ_ｍ　　（式２）
とあらわせる。
（２）また、ベクトルＤ_ｍがベクトルＣ_ｍと線形独立で無くベクトルＣ_ｍの定数倍の場合は、ｇ＝０、ｈ＝０とあらわせて、やはり式２であらわせる。

（仮定）ここで、ｇ≠０と仮定すると、

式１により、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ＝０_ｍ　　（式３） 
が得られる。
この式３を式２に足し合わせると、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）＝ｇＤ_ｍ＋ｈＣ_ｍ　，
Ａ_ｍｐ（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）＝（α＋ｇ）・（Ｄ_ｍ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｍ）　（式４）
式４は、ベクトル（Ｄ_ｐ＋（ｈ／ｇ）Ｃ_ｐ）が行列Ａ_ｍｐにより（α＋ｇ）倍に変換されることをあらわしているので、
α＋ｇが固有値であることになる。
一方、固有値は重根であって、αのみであるので、
ｇ＝０
になる。
しかし、ｇ≠０と仮定していたので、これと矛盾する。
よって、ｇ≠０とした最初の仮定が不適である。
∴　ｇ＝０

任意のベクトルＦに関する式２は、
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｐ＝ｈＣ_ｍ
∴
（Ａ_ｍｐ－α・Ｅ_ｍｐ）Ｄ_ｔは、行列Ａ_ｓｐで０ベクトルに変換される固有ベクトルＣ_ｐに平行なベクトルである。
（証明おわり）

《第２の例》
固有値が１の重根を持つ行列Ａ：

は、固有ベクトル

を１つのみ持つ。
その固有ベクトルと同じ固有ベクトルを持つ行列Ｂ：

は、行列Ａとの積が交換可能（可換）な関係があり、以下の式が成り立つ。

固有ベクトルを共有する行列同士の積が交換可能であるという関係は一般的に成り立つ。




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固有ベクトルが同じ行列
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