大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式
【解説】
行列ＡｗｕＢｕｋと行列ＢｗｕＡｕｋとは等しくない場合が多いですが、
行列Ａの行列式が０では無い場合は、
Ａ－１ｋｍ（ＡｍｕＢｕｓ）＝Ｂｋｓ＝（ＢｋｍＡｍｕ）Ａ－１ｕｓ
が成り立ちます。
このようにある行列ＣとＤが、
行列式が０では無い行列Ｐを介して、
ＰＣ＝ＤＰ
という関係がある場合は、
行列ＣとＤとは同じ固有値を持ち、行列Ｐによって互いに変換されます。
ＰＣＰ－１＝Ｄ
Ｐ－１ＤＰ＝Ｃ
そのため、 行列ＡｗｕＢｕｋと行列ＢｗｕＡｕｋとは同じ固有値を持ち、行列Ａ－１ｋｍによって互いに変換されます。
また 、行列ＡｗｕＢｕｋと行列ＢｗｕＡｕｋは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）
です。
この関係は、アインシュタインの縮約記法であらわすと簡単に証明できます。
ｔｒ（ＡＢ）＝ＡｍｕＢｕｍ＝ＢｕｍＡｍｕ＝ｔｒ（ＢＡ）
です。
更に、行列ＡやＢの行列式が０になる場合でも、
以下のようにして、
行列ＡＢ≡Ｆと、ＢＡ≡Ｇの固有値が等しいといえます。
行列Ｆの固有値λを求める式は、
ｄｅｔ（Ｆ－λＥ）＝０
（Ｆ１１－λ） （Ｆ２２－λ）－Ｆ２１Ｆ１２＝０
λ２－ｔｒ（Ｆ）λ＋ｄｅｔ（Ｆ）＝０
ここで、
ｔｒ（Ｆ）＝ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）＝ｔｒ（Ｇ）
ｄｅｔ（Ｆ）＝ｄｅｔ（ＡＢ）＝ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｂ）＝ｄｅｔ（ＢＡ）＝ｄｅｔ（Ｇ）
λ２－ｔｒ（Ｇ）λ＋ｄｅｔ（Ｇ）＝０
だから、行列ＦとＧは、固有値を求める式が同じになるから固有値が同じです。
この関係があるため、
交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃの対角成分の和は０になります。
ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）－ｔｒ（ＢＡ）＝０
ｔｒ（Ｃ）＝０
このため、２行２列の行列の交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃの場合は、
２行２列の行列のケイリー・ハミルトンの定理によって、
ＣｗｕＣｕｋ＋ｄｅｔ（Ｃ）Ｅｗｋ＝ｔｒ（Ｃ）Ｃｗｋ
の関係に、 ｔｒ（Ｃ）＝０を代入すると、
ＣｗｕＣｕｋ＋ｄｅｔ（Ｃ）Ｅｗｋ＝Ｏｗｋ
ＣｗｕＣｕｋ＝－ｄｅｔ（Ｃ）Ｅｗｋ
すなわち、 行列の交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃを２乗した行列は単位行列に比例し、詳しくは－ｄｅｔ（Ｃ）倍になります。
【問題】
２行２列の行列ＡとＢが
ＡＢ－ＢＡ＝Ａ
をみたすとき、
ＡｗｕＡｕｋ＝Ｏｗｋ
が成立することを示せ。
「入試数学伝説の良門１００」
の問題９６の、３０８ページ「別解」
（解答はじめ）
ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）－ｔｒ（ＢＡ）＝０ （１）
２行２列のケイリー・ハミルトンの定理によって、
ＡｗｕＡｕｋ＋ｄｅｔ（Ａ）Ｅｗｋ＝ｔｒ（Ａ）Ａｗｋ
（１）を代入する。
ＡｗｕＡｕｋ＝－ｄｅｔ（Ａ）Ｅｗｋ （２）
Ａ（ＡＢ－ＢＡ）＝Ａ（Ａ）
（ＡＢ－ＢＡ）Ａ＝（Ａ）Ａ
（Ａ２Ｂ－ＡＢＡ）＋（ＡＢＡ－ＢＡ２）＝２Ａ２
Ａ２Ｂ－ＢＡ２＝２Ａ２
（２）を代入する。
－ｄｅｔ（Ａ）Ｂ＋ｄｅｔ（Ａ）Ｂ＝２Ａ２
－ｄｅｔ（Ａ）（Ｂ－Ｂ）＝２Ａ２
Ｏｗｋ＝２ＡｗｕＡｕｋ
∴ ＡｗｕＡｕｋ＝Ｏｗｋ
（解答おわり）
（別解：地道に計算する方法）
行列の要素を添え字を付けてあらわすと、式がスラスラかける。
（解答はじめ）
（ＡＢ－ＢＡ）ｗｋ＝Ａｗｋ
ＡｗｕＢｕｋ－ＢｗｕＡｕｋ＝Ａｗｋ
Ａ１１＝Ａ１１Ｂ１１＋Ａ１２Ｂ２１－Ｂ１１Ａ１１－Ｂ１２Ａ２１
Ａ１１＝Ａ１２Ｂ２１－Ｂ１２Ａ２１ （１）
Ａ２２＝Ａ２１Ｂ１２＋Ａ２２Ｂ２２－Ｂ２１Ａ１２－Ｂ２２Ａ２２
Ａ２２＝Ａ２１Ｂ１２－Ｂ２１Ａ１２ （２）
Ａ１２＝Ａ１１Ｂ１２＋Ａ１２Ｂ２２－Ｂ１１Ａ１２－Ｂ１２Ａ２２ （３）
Ａ２１＝Ａ２１Ｂ１１＋Ａ２２Ｂ２１－Ｂ２１Ａ１１－Ｂ２２Ａ２１ （４）
（１）と（２）より、
Ａ１１＝Ａ１２Ｂ２１－Ｂ１２Ａ２１＝－Ａ２２ （５）
（５）を（３）に代入してＡ２２を消去する。
Ａ１２＝Ａ１１Ｂ１２＋Ａ１２Ｂ２２－Ｂ１１Ａ１２＋Ｂ１２Ａ１１ （６）
Ａ１２（１－Ｂ２２＋Ｂ１１）＝２Ａ１１Ｂ１２ （７）
（５）を（４）に代入してＡ２２を消去する。
Ａ２１＝Ａ２１Ｂ１１－Ａ１１Ｂ２１－Ｂ２１Ａ１１－Ｂ２２Ａ２１ （８）
Ａ２１（１－Ｂ１１＋Ｂ２２）＝－２Ａ１１Ｂ２１ （９）
（７）×Ａ２１＋（９）×Ａ１２
２Ａ２１Ａ１２＝２Ａ１１（Ａ２１Ｂ１２－Ａ１２Ｂ２１） （１０）
（１０）に（５）を代入する
２Ａ２１Ａ１２＝－２Ａ１１Ａ１１
Ａ２１Ａ１２＝－Ａ１１Ａ１１ （１１）
次に、ＡｗｕＡｕｋの要素を順次に計算する。
Ａ１ｕＡｕ１＝Ａ１１Ａ１１＋Ａ１２Ａ２１
（１１）を代入して
Ａ１ｕＡｕ１＝０ （１２）
Ａ２ｕＡｕ２＝Ａ２１Ａ１２＋Ａ２２Ａ２２
（１１）と（５）を代入して
Ａ２ｕＡｕ２＝０ （１３）
Ａ１ｕＡｕ２＝Ａ１１Ａ１２＋Ａ１２Ａ２２＝Ａ１２（Ａ１１＋Ａ２２）
（５）を代入して
Ａ１ｕＡｕ２＝０ （１４）
Ａ２ｕＡｕ１＝Ａ２１Ａ１１＋Ａ２２Ａ２１＝Ａ２１（Ａ１１＋Ａ２２）
（５）を代入して
Ａ２ｕＡｕ１＝０ （１５）
∴ （１２）（１３）（１４）（１５）から
ＡｗｕＡｕｋ＝０ｗｋ
（解答おわり）
リンク：
追加講：三角形の面積と行列式
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