楕円を円に一次変換する

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】

上図のように、回転した楕円の位置座標（Ｘ，Ｙ）を行列Ａ_ｋｓにより（Ｘ’，Ｙ’）に一次変換して楕円を円に変形する問題を考える。

点（Ｘ，Ｙ）の描く楕円の式は以下のように変形できる。


この式を以下のように、

とする一次変換の行列Ａ_ｋｓを求める問題です。
この式は以下のように変形できます。


このような関係を満足する行列Ａ_ｋｓを求める問題に帰着します。

この解は１つではありませんが、以下で、１つの解を計算する方法を説明します。また、別解として、より簡単に得られる解の計算方法を示します。

ここで、楕円の式を与える行列Ｆ_ｍｐの固有値をα_１とα_２とする。楕円の式をあらわすとき、これらの固有値は正値である。
固有値α_１の固有ベクトルをＰ_ｍ１とし、
固有値α_２の固有ベクトルをＰ_ｍ２とする。
ここで、一旦、アインシュタインの縮約表記を止める。
以下の式が成り立つ。

（以下の公式を思い出して）

このように定義した行列Ａ_ｍｐも解の１つとなり得ることを以下で証明する。
固有値が正値であるので、その平方根も実数で得られる。
その平方根は、正値以外に、負の値にしてもかまわないが、以下の計算では、正値の平方根で計算を進める。

ここで、ケイリーハミルトンの定理を利用して、この行列Ａ_ｍｐが対称行列であることを証明する。


（補足）なお、対称行列Ｆ_ｍｐの固有ベクトルは互いに直交するべクトルになることが知られている。そして、その場合は、固有ベクトルの作る座標変換の行列Ｐ_ｍｋは回転行列になるように整えることができる。その場合は、その回転行列で変換して作られる行列Ａ_ｍｐは対称行列になる。（ｎ行ｎ列の行列で同様な問題を扱う場合は、そのようにして、行列Ａ_ｍｐが対称行列になることを証明する）

行列Ａ_ｍｐが定義できたので、
以下では、アインシュタインの縮約表記に戻って、計算を進める。



こうして、回転した楕円を、その楕円の位置座標（Ｘ，Ｙ）を以上の計算で求めた行列Ａ_ｋｓを使って（Ｘ’，Ｙ’）に一次変換すれば、その楕円を円に変形することができることがわかった。

【別解】

とおくと、

ここで、元の式で、ｂ＞０でなければならない。
そして、
（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＞０であることが楕円の条件である。
（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＜０の場合は、双曲線の標準形に１次変換される。
（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＝０の場合は、２つの直線に１次変換される。
放物線に１次変換されるためには、元の式にＸかＹの１次の項がある必要がある。

される

よって、
Ａ_１１＝√ｂ
Ａ_１２＝（ｄ／√ｂ）
Ａ_２１＝０
Ａ_２２＝√（ｃ－（ｄ^２／ｂ））

ここで得られた行列を使って検算すると、たしかに以下の式が成り立っている。
Ａ_ｔｍＡ_ｔｐ＝Ｆ_ｍｐ
Ａ_ｔｍの解のうち、この解が一番速く計算できる。

【総合解答】
上の別解を拡張して全てのＡ_ｔｍの解を計算する。
ｂＸ^２＋２ｄＸＹ＋ｃＹ^２＝１　（１）

以下の形のＸ、Ｙに関する恒等式を組み立てる。
ｂＸ^２＋２ｄＸＹ＋ｃＹ^２＝（ｆＸ＋ｇＹ）^２＋（ｈＸ＋ｋＹ）^２　（２）
Ｘ’＝ｆＸ＋ｇＹ
Ｙ’＝ｈＸ＋ｋＹ

上の恒等式２を組み立てると、最初の式１は以下の式３に書き換えることができる。
Ｘ’^２＋Ｙ’^２＝１　（３）
 
　以下では、先の式２が恒等式になるために必要なｆ，ｇ，ｈ，ｋの条件を求める。
ｆ^２＋ｈ^２＝ｂ　（４）
ｇ^２＋ｋ^２＝ｃ　（５）
２ｆｇ＋２ｈｋ＝２ｄ　（６）
必要な条件は以上の式４から６である。
 
式４から式６の連立方程式を解く。
ｆ＝（√ｂ）ｃｏｓα　（７）
ｈ＝（√ｂ）ｓｉｎα　（８）
ｇ＝（√ｃ）ｓｉｎβ　（９）
ｋ＝（√ｃ）ｃｏｓβ　（１０）

上のように式７から１０でｆ，ｇ，ｈ，ｋを定めると、式４と式５が成り立つ。
式６に式７から式１０を代入し、２で割ると以下の式を得る。
（√（ｂｃ））｛ｃｏｓα・ｓｉｎβ＋ｓｉｎα・ｃｏｓβ｝＝ｄ
ｓｉｎ（α＋β）＝ｄ／（√（ｂｃ））　（１１）
ここで、
α＋β＝θ　（１２）
とおいて、式１１を書き換えると、
ｓｉｎ（θ）＝ｄ／（√（ｂｃ））　（１３）
この式１３により、θが定まる。
任意のαと、固定した値のθとで、ｆ，ｇ，ｈ，ｋ全てがあらわされる。
式１２から、
β＝θ－α
として、式９と１０を書き換えると、
ｇ＝（√ｃ）ｓｉｎ（θ－α）　（１４）
ｋ＝（√ｃ）ｃｏｓ（θ－α）　（１５）
式１３で定められるθと任意の値のパラメータαを用いて、式７，８、１４、１５で、変換の全てのパラメータｆ，ｇ，ｈ，ｋが定められる。

【対称行列となる解】
これで解答が得られたが、このうち、パラメータｆ、ｇ、ｈ、ｋで定まる変換行列が対称行列になる特別な場合を調べておく。
ｇ＝ｈ＝（√ｃ）ｓｉｎ（θ－α）＝（√ｂ）ｓｉｎα
ｓｉｎα（－（√ｃ）ｃｏｓθ－（√ｂ））＋ｃｏｓα（（√ｃ）ｓｉｎθ）＝０
１／ｔａｎα＝（（√ｃ）ｃｏｓθ＋（√ｂ））／（（√ｃ）ｓｉｎθ）
ｃｏｓθ≧０とする解は
１／ｔａｎα
＝（（√ｃ）√（１－（ｄ^２／（ｂｃ）））＋（√ｂ））／（（√ｃ）（ｄ／（√（ｂｃ））））
＝（√（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＋（√ｂ））／（（ｄ／（√ｂ）））
＝（√（ｂｃ－ｄ^２）＋ｂ）／ｄ
１／ｓｉｎα^２＝１＋（１／ｔａｎα）^２
＝｛ｄ^２＋（ｂｃ－ｄ^２）＋ｂ^２＋２ｂ√（ｂｃ－ｄ^２）｝／ｄ^２
＝｛ｂｃ＋ｂ^２＋２ｂ√（ｂｃ－ｄ^２）｝／ｄ^２
＝ｂ｛ｃ＋ｂ＋２√（ｂｃ－ｄ^２）｝／ｄ^２
ｇ^２＝ｈ^２＝ｂ・ｓｉｎ^２α＝ｄ^２／｛ｃ＋ｂ＋２√（ｂｃ－ｄ^２）｝
＝ｄ^２／｛ｃ＋ｂ＋２√（ｂｃ－ｄ^２）｝
ｂｃ－ｄ^２＝Δ　とおくと、
ｇ^２＝ｈ^２＝ｄ^２／｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
ｇとｈがｄと同じ符号を持つ解を求める。
ｇ＝ｈ＝ｄ／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
式１から、
ｆ＝ｈ／ｔａｎα＝（√（Δ）＋ｂ）／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
式０から
ｆｇ＋ｈｋ＝ｄ
（√（Δ）＋ｂ）ｄ／｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＋ｄｋ／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＝ｄ
（√（Δ）＋ｂ）／｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＋ｋ／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＝１
（√（Δ）＋ｂ）／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＋ｋ＝√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
ｋ＝｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）－（√（Δ）＋ｂ）｝／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
＝｛ｃ＋√（Δ）｝／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
以上で得た解を整理する。

ここで得たパラメータｆ，ｇ＝ｈ，ｋから成る１次変換の対称行列Ａ_ｔｍとパラメータｂ，ｃ，ｄからなる対称行列Ｆ_ｍｐとは、掛け算を計算してみると、演算順序を交換しても結果が変わりません。
これは、次のページで説明することですが、行列Ａ_ｔｍと行列Ｆ_ｍｐとは固有ベクトルを共有していることを意味します。
そのため、この行列Ａ_ｔｍは、最初に考察した１つの解、その固有値が行列Ｆ_ｍｐの固有値の平方根である対称行列の具体的な解になっています。

【対称行列となる変換行列Ａ_ｔｍの簡単な計算方法】
パラメータｆ、ｇ、ｈ、ｋで定まる変換行列Ａ_ｔｍが対称行列になる場合には、その行列の２乗が対称行列Ｆ_ｍｐになることを利用して、もっと簡単に変換行列Ａ_ｔｍを求めることができます。その計算方法を以下で説明します。
Ａ_ｔｍＡ_ｍｋ＝Ｆ_ｔｋ　（１）
この場合、行列Ｆ_ｔｋの行列式
ｂｃ－ｄ^２＝Δ
とおくと、
行列Ａ_ｔｍの行列式＝±√Δ
になります。このうち、行列式が√Δとなる解のみを求める。
行列Ａ_ｔｍに関するケイリー・ハミルトンの定理は以下の式になります。
Ａ_ｔｍＡ_ｍｋ－（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｔｋ＋（√Δ）Ｅ_ｔｋ＝０_ｔｋ　（２）
式２に式１を代入すると、
Ｆ_ｔｋ－（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｔｋ＋（√Δ）Ｅ_ｔｋ＝０_ｔｋ
（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｔｋ＝Ｆ_ｔｋ＋（√Δ）Ｅ_ｔｋ　（３）
この行列の対角要素の和を計算する。
（Ａ_１１＋Ａ_２２）^２＝Ｆ_１１＋Ｆ_２２＋２（√Δ）
（Ａ_１１＋Ａ_２２）＝√｛Ｆ_１１＋Ｆ_２２＋２（√Δ）｝＝√｛ｂ＋ｃ＋２（√Δ）｝
これを式３に代入する。

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