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2016年10月9日日曜日

入試問題：図形の長さの比の問題

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大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 【問い】 以下の図の原点ＯとＡ（１，０）とＢ（０，１）に対して点Ｐが、以下の関係の位置にある。 ＯＰ：ＡＰ：ＢＰ＝１：ａ：ｂ とする。 ここで、ａ≧０，ｂ≧０，である。 このとき、P点が任意の位置に動くとき、aとbの取りうる値(...
2015年2月14日土曜日

原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法

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【解説】 直線を座標原点を中心に回転させた場合の楕円の方程式を考える。 　先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。 この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。  ここで、楕円の軸方向のベクトルｇとｈを考えます。 ...
2014年2月23日日曜日

美しい数学：美しい問題の種

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大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強   【問１】　以下の式を因数分解せよ。 ｘ ４ －７ｘ ２ ＋１ 【美しい計算方法の例】 以下の計算方法は解き方が美しいです。 そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれ...
2014年2月20日木曜日

美しい数学：平方完成の検算

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大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 【検算の参考例】 以下の式を平方完成して、その検算の１例を示します。 上の式は、以下のように検算できます。 この検算方法が優れている点は以下の点にあります。 ２つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。 （１）...
2014年2月19日水曜日

微分を利用して平方完成する公式

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大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 【覚えてください】 以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。 上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。 （例題１） 以下の式を平方完成します。 　この解の方針に従って、以下のように計算し...
2014年2月17日月曜日

美しい数学：放物線と直線の交点

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大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 【覚えてください】 　上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。 【交点の座標ｘの計算方法】 　先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のｘ座標ｓを計算します...
2014年2月16日日曜日

美しい数学：ベクトルの内積の不等式

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大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 【覚えてください】 　上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。 　ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの不等式になります。 【問題】 　固定ベクトルａに対して、任意のベクトルｐに対...