大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式
【解説】
対角行列Ｂｍｋから、以下の様にして行列式Δが０では無い行列Ｐｓｍを使って、固有値が同じ行列Ａｓｔを作ることができます。
行列Ａｓｔ固有値λは以下の行列式により得られます。
上の式のように、その行列Ａｓｔの固有値λを計算すると、その固有値λは対角行列Ｂｍｋの固有値と等しくなります。
対角行列からでは無くても、同様に変換された行列同士の固有値λは等しくなります。
この行列Ａｓｔの意味を以下で説明します。
あるベクトルＸｋと、そのベクトルが対角行列Ｂｍｋにより変換された結果のベクトルＹｍとがある場合：
Ｙｍ＝ＢｍｋＸｋ （１）
その２つのベクトルを、行列Ｐｓｍで新しいベクトルＸ’ｓとＹ’ｓに変換した場合に、その新しいベクトル間の変換の行列をＡｓｔであらわせるものとします。
Ｘ’ｓ＝ＰｓｍＸｍ （２）
Ｙ’ｓ＝ＰｓｍＹｍ （３）
Ｙ’ｓ＝ＡｓｔＸ’ｔ （４）
（４）に、（２）と（３）を代入。
ＰｓｍＹｍ＝ＡｓｔＰｔｋＸｋ，
Ｐ－１ｕｓを左から掛け算する。
Ｐ－１ｕｓＰｓｍＹｍ＝Ｐ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋＸｋ，
Ｙｕ＝Ｐ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋＸｋ，
（１）を代入する。
ＢｕｋＸｋ＝Ｐ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋＸｋ，
上式が任意のベクトルＸｋで成り立つ条件を求める。
それは、ベクトルＸｋの各成分毎に、係数同士が等しいことである。
それは、以下の式になる。
Ｂｕｋ＝Ｐ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋ
Ｐｗｕを左から掛け算し、Ｐ－１ｋｍを右から掛け算する。
ＰｗｕＢｕｋＰ－１ｋｍ＝ＰｗｕＰ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋＰ－１ｋｍ＝ＥｗｓＡｓｔＥｔｍ
ＰｗｕＢｕｋＰ－１ｋｍ＝Ａｗｍ
ベクトル（１，０）が行列Ｂｕｋで変換されてベクトルλ１（１，０）になる。
その各ベクトルをＰｓｍで１次変換すると、
変換されたベクトル同士では、縦ベクトルＰｔ１が行列Ａｓｔによって縦ベクトルλ１Ｐｔ１に変換される関係になる。
すなわち、行列Ａｓｔに関しては、縦ベクトルＰｔ１が固有値λ１についての固有ベクトルです。
そのため、Ｐｔｋは固有ベクトルを並べた行列になっている。
つまり、以下の式が成り立ちます。
ここで、
ＰｗｕＢｕｋＰ－１ｋｍ＝Ａｗｍ
という式や、
Ｂｕｋ＝Ｐ－１ｕｓＡｓｔＰｔｋ
という式は、以下のように覚え易い形に変形して覚えます。
ＰｓｕＢｕｋＸｋ＝ＡｓｔＰｔｋＸｋ
この式の左辺は、ベクトルＸｋを対角行列Ｂｕｋで変換したベクトルを作って、そのベクトルを１次変換Ｐｓｕで変換する操作です。
右辺は、ベクトルＸｋを前もってＰｔｋで１次変換してしておいて、１次変換後のベクトルを行列Ａｓｔで変換する操作です。
左辺の操作は右辺の操作と同じ結果を出します。
特に、左辺では、対角行列Ｂｕｋによって、ベクトル（１，０）を第１の固有値倍に変換し、ベクトル（０，１）を第２の固有値倍に変換します。
右辺では、それらのベクトルがＰｔｋで１次変換された結果のベクトル、すなわち、行列Ｐｔｋの縦ベクトルが固有値倍に変換されます。
以上の結果から、 行列Ａｓｔの固有値を計算して、その固有値に対応する２つの固有ベクトルを計算して、その２つの固有ベクトルを並べた行列Ｐｔｋを使えば、行列Ａｓｔを行列Ｐｔｋによって対角化した行列Ｂｍｋを逆算することができます。
行列Ａｓｔから対角化した行列Ｂｍｋを求めることを、行列の対角化と言います。
（固有値が同じ行列の例）
行列ＡｗｕＢｕｋと行列ＢｗｕＡｕｋとは等しくない場合が多いですが、
Ａ－１ｋｍ（ＡｍｕＢｕｓ）＝Ｂｋｓ＝（ＢｋｍＡｍｕ）Ａ－１ｕｓ
が成り立ちます。
そのため、 行列ＡｗｕＢｕｋと行列ＢｗｕＡｕｋとは同じ固有値を持ち、行列Ａ－１ｋｍによって互いに変換されます。
また 、行列ＡｗｕＢｕｋと行列ＢｗｕＡｕｋは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）
です。
（固有値が同じ行列の性質）
なお、対角行列Ｂから、ＰＢＰ－１＝Ａとする変換で作ることができない行列Ａもあります。
そういう行列Ａでも、固有値を求める上記のｎ行ｎ列の行列式の、
ｘ（ｎ－１）の係数＝－固有値の和＝－行列Ａの対角要素の和
になります。
そのため、いずれにしろ、
固有値の和＝行列Ａの対角要素の和
が成り立ちます。
（注意）
固有値が同じ行列同士を変換する行列Ｐｔｋが求められるためには、変換される行列Ａｓｔの固有ベクトルが２つなければなりません。
大学生も間違え易い問題点ですが、
行列Ａｓｔの固有ベクトルが２つあるのは、以下の場合のみです。
（１）その２つの固有値が異なる場合。
（２）その２つの固有値αが等しいが、行列Ａｓｔ＝α・Ｅｓｔである場合。
２つの固有値が等しい場合で、行列Ａｓｔが単位行列の固有値倍の行列では無い場合は、固有ベクトルは１つしかありません。その行列Ａｓｔは、どの行列Ｐｔｋで変換しても、対角化された行列には変換できません。
（第２の方法）
次に、行列Ｐｔｋで変換しない方法で、固有値が同じ行列を作る方法を説明します。
固有値が同じ行列では対角要素の和（すなわち、固有値の和）が変わらないので、以下のような行列の足し算を考えます。
ここで、行列Ａｓｔの固有値は以下の式で計算できます。
この固有値が行列Ｂｍｋの固有値と等しくなるためには、以下の式が成り立つ必要があります。
この式を満足するパラメータａを持つ行列を足し合わせると、その行列の固有値は変わりません。
この変換方法では、２つの固有値が等しい場合で、行列Ａｓｔが単位行列の固有値倍の行列では無い場合にも、その行列Ａｓｔから対角化された（固有値が等しい）行列を作ることができます。
しかし、この変換は、単に固有値が同じ行列を作るだけの処理です。
行列Ｐｔｋで１次変換して行列を作るわけではないので、作られた行列の性質が元の行列の性質と同じであるという保証はありません。
【固有値が重根の場合の、固有値が等しい行列】
以下では、固有値が重根の場合に、固有値が同じ行列を作ってみます。
先ず、固有値が重根の対角行列、すなわち単位行列の定数倍の対角行列から、１次変換により、固有値が等しい行列を作ってみます。
単位行列の定数倍の対角行列から、１次変換によって固有値が等しい行列を作ると、その結果は元の行列と変わりません。
そのため、固有値が重根であって対角行列で無い行列は、どのように１次変換しても決して対角行列にはならないのです。
《重根の固有値を持つ第１の例》
次に、先に説明した第２の方法で、単位行列と固有値が等しい（固有値が１の重根を持つ）行列を作ってみます。
この新しい行列は元の行列と同じで固有値１を持ちます。この新しい行列の固有ベクトルは（１，１）に比例するベクトルだけです。
それ以外のベクトル（F１， F２）は、
F１（２，１）＋F２（－１，０）
＝F１（（１，０）＋（１，１））＋F２（（０，１）＋（－１，－１））
＝（F１，F２）＋（F１－F２）（１，１）
に変換します。
変換の結果の方向が変わらないベクトル、すなわち、固有値倍に変換されるベクトルはベクトル（１，１）の方向のベクトルのみです。
そもそも固有値は、固有ベクトルを求める式が源になって定義されたパラメータです。
この場合は、その求める対象の固有ベクトルが１つしか無いので、
固有値が重根（重解）となって２つ得られたというのは見せかけであって、１つの固有値しか得られていないと解釈できます。
《重根の固有値を持つ第２の例》
また、固有値が１の重根を持つもう１つの行列Ａ：
は、固有ベクトル
を１つのみ持つ。
リンク：
固有ベクトルを求める（裏技）
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次
《目次》行列演算からベクトル解析まで
内部リンク：
▷行列式
▷行基本変形や余因子展開の計算方法
【行列式】
ケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味を理解するためには、先ず、「行列式」の意味を知る必要があります。
行列式は、ベクトルが張る図形の面積や体積を計算するものです（前のページで説明）。
「行列式」は、行の数と列の数が同じ正方行列の場合に計算できるものです。
（２行２列の行列の行列式）
２行２列の行列の行列式は、
その行列の要素が構成する２つの縦ベクトルが作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。
２行２列の行列Ａｍｐの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
εｍｐＡｍ１Ａｐ２
で計算します。
この計算に利用する行列
εｍｐ
は、ｍ≠ｐの場合の、
ε１２＝１，
ε２１＝－１
であり、それ以外の、ｍ＝ｐとなる、
εｍｐ＝ε１１＝ε２２＝０
です。
行列式
εｍｐＡｍ１Ａｐ２
は、ベクトル（Ａ１１，Ａ２１）とベクトル（Ａ１２，Ａ２２）との作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。
行列式を具体的に計算すると、
εｍｐＡｍ１Ａｐ２＝Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２
です。
なお、行列式の計算方法は、行と列を入れ替えても変わらない、行と列に関して対称な式になっています。
すなわち、行列式は、以下の式でも計算できます。
εｍｐＡ１ｍＡ２ｐ
以下で、行列式がベクトルの作る平行四辺形の面積を計算するものであることを説明します。
（一言で言うと、行列式の計算式を見ると、
１列目のベクトルに垂直で長さが同じベクトルと、２列目のベクトルとの内積の計算であることがわかります。
その計算は、１列目のベクトルを底辺として２列目のベクトルを斜辺とする平行四辺形の面積を計算するものです。
これで証明ができてしまいましたが、以下の証明も面白いので読んでください。）
以下のように、座標が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
Ｘ座標軸を回転させてＹ座標軸に重ねると、Ｙ座標軸はＸ座標軸の負の方向を向いて重なる。そのため、Ｘ成分にＹ成分を掛け算した結果を正にした場合、このように座標を回転させても面積が変わらないようにするには、必然的に、Ｙ成分にＸ成分を掛け算した結果を負にしなければならない。それで、計算規則が、行列式の計算規則に定まってしまうのです。
（平行四辺形の面積を１つ目のベクトルに垂直なベクトルと２つ目のベクトルの内積であらわす）
三角形の面積Ｓは、以下の様に、ベクトルＡに垂直なベクトルＡｖとベクトルＢの内積であらわすことができます。
（式１’が平行四辺形の面積２Ｓの公式）
こうして得た式１’は、先に計算した行列式による面積の計算式１ａと同じ式になりました。
すなわち、２行２列の行列式は、ベクトルＡに垂直なベクトルＡｖとベクトルＢの内積であらわすことができます。
（３行３列の行列式）
３行３列の行列の行列式は、その行列の要素が構成する３つの縦ベクトルが作る斜方体の体積をあらわすという意味を持ちます。
３行３列の行列Ａｍｐの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐｒを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
εｍｐｒＡｍ１Ａｐ２Ａｒ３
で計算します。
この計算に利用する行列（正しくは、擬テンソルと呼ばれる）
εｍｐｒ
は、ｍ≠ｐ、ｍ≠ｒ、ｐ≠ｒの場合の、
ε１２３＝ε２３１＝ε３１２＝１
ε２１３＝ε３２１＝ε１３２＝－１
であり、それ以外の
εｍｐｒ＝０
です。
行列式
εｍｐｒＡｍ１Ａｐ２Ａｒ３
は、ベクトル（Ａ１１，Ａ２１，Ａ３１）とベクトル（Ａ１２，Ａ２２，Ａ３２）とベクトル（Ａ１３，Ａ２３，Ａ３３）との作る斜方体の体積をあらわすという意味を持ちます。
行列式を具体的に計算すると、
εｍｐｒＡｍ１Ａｐ２Ａｒ３
＝Ａ１１Ａ２２Ａ３３
＋Ａ２１Ａ３２Ａ１３
＋Ａ３１Ａ１２Ａ２３
－Ａ２１Ａ１２Ａ３３
－Ａ３１Ａ２２Ａ１３
－Ａ１１Ａ３２Ａ２３
です。
この行列式が斜方体の体積をあらわすので、３つの３次元ベクトルの先端と原点とを頂点とする三角錐の体積は、その３つの３次元ベクトルを３つの列ベクトルとする行列式の値を６分の１にした値になります。
このように、行列式は、行列を構成するベクトルが作る面積や体積をあらわします。
（ｎ行ｎ列の行列式）
ε（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）｛Ａ（ｐ１）１Ａ（ｐ２）２Ａ（ｐ３）３・・・Ａ（ｐｎ）ｎ｝
で計算します。
ここで用いた添え字がｎ個の行列（正式には、添え字２つのものを行列と呼び、添え字３つ以上のものはテンソルと呼ばれる）
ε（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）は、以下の値を持ちます。
ε（１）（２）（３）・・・（ｎ）＝１
この添え字の位置を交換すると（－１）倍になる。例えば、１と２を交換すると、
ε（２）（１）（３）・・・（ｎ）＝－１
これらの添え字の位置を交換した要素以外は全て０です。例えば、
ε（１）（１）（３）・・・（ｎ）＝０
【行列式は行と列を入れ替えても結果が同じ】
行列式は、計算の元になる行列の行と列に関して対称な計算式です。そのため、行と列を入れ替えた行列でも行列式は同じ値になります。
【行列式が０になる行列の性質】
行列を列ベクトルに分割したとき、その列ベクトルが独立でなく、１つの列べクトルが他の列ベクトル（重みつき和）であらわせる場合は、行列式が０になります。
（２行２列の行列の場合）
例えば、２行２列の行列の場合は、行列式が０になる場合は、行列の２つの列ベクトルが、平行な２つのベクトルの場合です。
この平行な２つのベクトルで構成する平行四辺形の面積は０です。
行列式はその面積をあらわすものなので、その行列式は０になります。
（３行３列の行列の場合）
３行３列の行列の場合は、行列式が０になる場合は、行列を構成する３つのベクトルが、同一平面上にある場合です。
その３つのベクトルで構成される斜方体は、その平面上の高さが０であるので、体積が０です。
行列式はその体積をあらわすものなので、その行列式は０になります。
行列式は、そのうちの２つの行が同じ行ベクトルであると、行列式が０になります。２つの列が同じ列ベクトルの場合も０になります。
また、行列式が０になる行列は、あるベクトルを０ベクトルに変換する性質があります。後に説明する内容ですが、そのベクトルは、その行列の、値が０の固有値に対する固有ベクトルです。
そして、その固有ベクトルには、次のページで説明する余因子行列の列ベクトルが比例します。
なお、以下の行列式の積の計算は間違えやすい。
《行基本変形や余因子展開の計算方法》
【問１】
以下の行列式を計算せよ。
【解１】
余因子展開法で３行３列の行列式（２つ）の和にする。
その、各３行３列の行列式は、
サラスの方法で簡単に求められる。
（解答おわり）
【解２】
行列式の中の1行又は１列の中で、以下の式で赤〇で囲った１成分以外の他の成分が全て０になるようにうまく変形しつつ、１成分だけの余因子展開法を２段階に用いて解く。
上式の計算では、初めに、４行４列の行列式の中で、１列目に２列目のλ倍を加えることで、１行目の行の中を、赤〇で囲った１つの成分以外の全ての成分を０にする処理から計算を始めた。次に、その１行目の行に１成分だけの余因子展開法を用いた。
（解答おわり）
【問２】
以下の行列式を計算せよ。
【解答】
その行列式の中の３列目で、以下の式で赤〇で囲った１成分以外の他の成分が全て０になるようにうまく変形しつつ、１成分だけの余因子展開法を用いて解く。
先ず、２行目の３倍を１行目に足す。２行目を３行目に足す。
次に、２行目のλ倍を３行目に足す。
（解答おわり）
【問３】
以下の行列式を計算せよ。
【解答】
行に他の行のｆ倍を足す計算を繰り返す。
先ず、４行目の-(X+2)倍を１行目に足す。
４行目を２行目に足す。
４行目の-2倍を３行目に足す。
ここで、
余因子展開法で
(-1)掛ける３行３列の行列式：
１行目に２行目の２倍を足す。
ここで、
余因子展開法で
(X+1)掛ける2行2列の行列式：
２行目の(-1)倍を１行目に足す。
ここで、
余因子展開法で
掛ける1行1列：
よって、行列式=
（解答おわり）
【問４】
以下の行列を行基本変形によって簡約化して、逆行列を計算せよ。
【解答】
行に他の行の整数倍を足す計算を繰り返す。
（１）ある行を整数倍して他の行に加える処理により、行列の成分がなるべく小さい数になるように変えていく。
（２）行の成分の最大公約数で行を割り算する。
（３）ある行の成分の大きさが大きい場合は、他の行を引き算することで成分を（０にしなくても良いから）小さくする。
先ず、以下の行列を作成する。
２行目から３行目を引く。
２行目に１行目を足す。
３行目、１行目、２行目の順に行を並び変える。
１行目と２行目を２倍にして、簡約化係数を２倍に揃える。
２行目から３行目を引く。
１行目から２行目を引く。
これで、以下の逆行列が求められた。
この逆行列を元の行列に掛け算して単位行列になることを確認する。
（解答おわり）
【問５】
以下の複素数成分を持つ行列を行基本変形によって簡約化して、簡約行列を計算せよ。
[4-6i][6][2]
[-2][1-6i][6]
[6][-2][4-6i],
【解答】
行に他の行の整数倍を足す計算を繰り返す。
（１）ある行を整数倍して他の行に加える処理により、行列の成分がなるべく小さい数になるように変えていく。
（２）行の成分の最大公約数で行を割り算する。
（３）ある行の成分の大きさが大きい場合は、他の行を引き算することで成分を（０にしなくても良いから）小さくする。
[4-6i][6][2]
[-2][1-6i][6]
[6][-2][4-6i],
１行目を２で割る。
３行目を２で割る。
[2-3i][3][1]
[-2][1-6i][6]
[3][-1][2-3i],
１行目に２行目を足す。
３行目に２行目を足す。
[-3i][4-6i][7]
[-2][1-6i][6]
[1][-6i][8-3i],
１行目に３行目の3i倍を足す。
２行目に３行目の２倍を足す。
[0][22-6i][16+24i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目を２で割る。
[0][11-3i][8+12i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目をi倍する。
[0][3+11i][-12+8i]
[0][1-18i][22-6i]
[1][-6i][8-3i],
１行目を２行目に足して２行目の成分の大きさを小さめにする。
[0][3+11i][-12+8i]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を１行目に足して１行目の成分の大きさを小さめにする。
[0][7+4i][-2+10i]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
１行目から２行目のi倍を引く。
[0][0][0]
[0][4-7i][10+2i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を(4+7i)倍する。
[0][0][0]
[0][65][26+78i]
[1][-6i][8-3i],
２行目を１３で割る。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[1][-6i][8-3i],
次の計算の準備のために、３行目を５倍にする。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[5][-30i][40-15i],
３行目に２行目の6i倍を足す。
[0][0][0]
[0][5][2+6i]
[5][0][4-3i],
（簡約化処理おわり）
なお、この行列を以下の行列に変換する。
[1][0][(4-3i)/5]
[0][1][(2+6i)/5]
[0][0][0],
（変形おわり）
この行列の一番右辺の列の列ベクトルの一番下の係数0を(-1)に変えて作った列ベクトルは、この行列によって０ベクトルに変換される。
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