４乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、４乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。
その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。
以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。
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2014年1月31日金曜日
４乗すると負の単位行列になる行列
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
４乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、４乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。
その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。
以下で、この行列Ｍの２乗から４乗まで順に計算していきます。
この４乗の結果が負の単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、係数が実数の解だけを求めます。
この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。
以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。
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４乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、４乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。
その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。
以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。
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2014年1月28日火曜日
３乗すると単位行列になる行列
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
３乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、３乗すると単位行列になる行列を求めてみます。
その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。
３乗すると単位行列になる行列Ｍを、これらの行列要素の和に分解して考えます。
この３乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、この式を解きます。
（注意）以下の計算で、ｇのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数ｇが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Ｈが０行列であってＭがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。
この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。
以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。
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３乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、３乗すると単位行列になる行列を求めてみます。
その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。
（注意）以下の計算で、ｇのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数ｇが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Ｈが０行列であってＭがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。
以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。
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2014年1月27日月曜日
2014年1月26日日曜日
複数回繰り返すと０になる操作
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
以下のように、１回目の操作では値が０にならないが、２回以上繰り返すと結果を０にする操作があります。
【例１】
【例２】
（この操作を利用した問題）
このように演算を複数回繰り返すと値が０になる演算を利用すると、数列の問題を作ることができます。つまり、これらの演算を施して順番に次の関数や行列を作るという数列の問題を作ることができます。
その数列の問題は、一見難しそうに見えますが、演算を２回以上繰り返すと値が０になるということが理解できると、問題がやさしく解けます。
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以下のように、１回目の操作では値が０にならないが、２回以上繰り返すと結果を０にする操作があります。
【例１】
（この操作を利用した問題）
このように演算を複数回繰り返すと値が０になる演算を利用すると、数列の問題を作ることができます。つまり、これらの演算を施して順番に次の関数や行列を作るという数列の問題を作ることができます。
その数列の問題は、一見難しそうに見えますが、演算を２回以上繰り返すと値が０になるということが理解できると、問題がやさしく解けます。
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2014年1月24日金曜日
三角関数の３倍角の公式の問題
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
いろいろな曲線
【問題】
以下の式であらわされる曲線の問題を解きます。
（問題おわり）
この問題は、以下のようにして解くことができます。
（解答はじめ）
三角関数は、積の形よりも和の形であらわす方が単純な形であると心得て、これから、三角関数が和の形であらわされるまで計算を続けます。
（解答おわり）
（この問題を解いてみてわかった知恵）
解答を正しく導くためにおぼえるべき３倍角の公式は、以下の公式を覚える方が、解答の助けになる。
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【問題】
以下の式であらわされる曲線の問題を解きます。
この問題は、以下のようにして解くことができます。
（解答はじめ）
（この問題を解いてみてわかった知恵）
解答を正しく導くためにおぼえるべき３倍角の公式は、以下の公式を覚える方が、解答の助けになる。
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2014年1月23日木曜日
ループで囲まれた図形の面積の計算
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
積分の応用
【解説】
ループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積を計算するときには、以下のようにして計算すると計算ミスも少なく答えが得られますので覚えておきましょう。
上図のようなおむすび形の境界線の（ｘ，ｙ）座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、（ｘ，ｙ）点が領域の境界線を一周するものとします。
この場合に、上図の図形のｘ方向の幅が細い微小面積であってその先端が図形の境界位置でｙ座標が大きい側にある微小面積を考え、それをｘ方向の正方向に積分することで面積を加算します。
次に、上のような、図形のｙ座標が小さい側の境界を先端にするｘ方向の幅が細い微小面積をｘ方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、ｙ座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、上の式であらわされるように、パラメータθを用いた１つの単純な積分計算に帰着します。
上のような、図形のｘ座標が大きい側の境界を先端にすろｙ方向の幅が細い微小面積をｙ方向の負方向に積分した値にマイナス１を掛け算することで面積を加算します。
次に、上のような、図形のｘ座標が小さい側の境界を先端にするｙ方向の幅が細い微小面積をｙ方向の正の方向に積分した値にマイナス１を掛け算することで、負の面積を加算します。すなわち、ｘ座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、１つの単純な積分計算に帰着します。
上図のような曲線の境界線の（ｘ，ｙ）座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、（ｘ，ｙ）点が領域の境界線を１方向に移動するものとします。
この場合に、その曲線とｘ軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、以下のように計算します。
先ず、上のような、図形のｙ座標が大きい側の境界を先端にする微小面積をｘ方向の正方向に積分することで面積を加算します。
次に、上のような、図形のｙ座標が小さい側の境界を先端にするｘ方向の幅が細い微小面積をｘ方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、ｙ座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、１つの単純な積分計算に帰着します。
上図のようなｙ座標が負である曲線の境界線とｘ軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、上の式で計算します。
求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、１つの単純な積分計算に帰着します。
【問題】
以下の式のように、 境界線の（ｘ，ｙ）座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、（ｘ，ｙ）点が領域の境界線を一周する場合に、このループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積Ｓを計算せよ。
（問題おわり）
この問題は、上で説明したようにパラメータθで単純な積分計算をすることで解けます。
試験問題で上の積分計算を利用して解答を書く場合は、（時間に余裕があったら）上の説明を簡単に解答に書いて、その計算の正当性を説明するようにしてください。
（解答はじめ）
（解答おわり）
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【解説】
ループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積を計算するときには、以下のようにして計算すると計算ミスも少なく答えが得られますので覚えておきましょう。
この場合に、上図の図形のｘ方向の幅が細い微小面積であってその先端が図形の境界位置でｙ座標が大きい側にある微小面積を考え、それをｘ方向の正方向に積分することで面積を加算します。
この場合に、その曲線とｘ軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、以下のように計算します。
先ず、上のような、図形のｙ座標が大きい側の境界を先端にする微小面積をｘ方向の正方向に積分することで面積を加算します。
求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、１つの単純な積分計算に帰着します。
【問題】
以下の式のように、 境界線の（ｘ，ｙ）座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、（ｘ，ｙ）点が領域の境界線を一周する場合に、このループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積Ｓを計算せよ。
この問題は、上で説明したようにパラメータθで単純な積分計算をすることで解けます。
試験問題で上の積分計算を利用して解答を書く場合は、（時間に余裕があったら）上の説明を簡単に解答に書いて、その計算の正当性を説明するようにしてください。
（解答はじめ）
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