３乗すると単位行列になる行列

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

３乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、３乗すると単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

３乗すると単位行列になる行列Ｍを、これらの行列要素の和に分解して考えます。

 

この３乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。

以下で、この式を解きます。
（注意）以下の計算で、ｇのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数ｇが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Ｈが０行列であってＭがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。

この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。

以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。

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