楕円を円に一次変換する

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】

上図のように、回転した楕円の位置座標（Ｘ，Ｙ）を行列Ａ_ｋｓにより（Ｘ’，Ｙ’）に一次変換して楕円を円に変形する問題を考える。

点（Ｘ，Ｙ）の描く楕円の式は以下のように変形できる。


この式を以下のように、

とする一次変換の行列Ａ_ｋｓを求める問題です。
この式は以下のように変形できます。


このような関係を満足する行列Ａ_ｋｓを求める問題に帰着します。

この解は１つではありませんが、以下で、１つの解を計算する方法を説明します。また、別解として、より簡単に得られる解の計算方法を示します。

ここで、楕円の式を与える行列Ｆ_ｍｐの固有値をα_１とα_２とする。楕円の式をあらわすとき、これらの固有値は正値である。
固有値α_１の固有ベクトルをＰ_ｍ１とし、
固有値α_２の固有ベクトルをＰ_ｍ２とする。
ここで、一旦、アインシュタインの縮約表記を止める。
以下の式が成り立つ。

（以下の公式を思い出して）

このように定義した行列Ａ_ｍｐも解の１つとなり得ることを以下で証明する。
固有値が正値であるので、その平方根も実数で得られる。
その平方根は、正値以外に、負の値にしてもかまわないが、以下の計算では、正値の平方根で計算を進める。

ここで、ケイリーハミルトンの定理を利用して、この行列Ａ_ｍｐが対称行列であることを証明する。


（補足）なお、対称行列Ｆ_ｍｐの固有ベクトルは互いに直交するべクトルになることが知られている。そして、その場合は、固有ベクトルの作る座標変換の行列Ｐ_ｍｋは回転行列になるように整えることができる。その場合は、その回転行列で変換して作られる行列Ａ_ｍｐは対称行列になる。（ｎ行ｎ列の行列で同様な問題を扱う場合は、そのようにして、行列Ａ_ｍｐが対称行列になることを証明する）

行列Ａ_ｍｐが定義できたので、
以下では、アインシュタインの縮約表記に戻って、計算を進める。



こうして、回転した楕円を、その楕円の位置座標（Ｘ，Ｙ）を以上の計算で求めた行列Ａ_ｋｓを使って（Ｘ’，Ｙ’）に一次変換すれば、その楕円を円に変形することができることがわかった。

【別解】

とおくと、

ここで、元の式で、ｂ＞０でなければならない。
そして、
（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＞０であることが楕円の条件である。
（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＜０の場合は、双曲線の標準形に１次変換される。
（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＝０の場合は、２つの直線に１次変換される。
放物線に１次変換されるためには、元の式にＸかＹの１次の項がある必要がある。

される

よって、
Ａ_１１＝√ｂ
Ａ_１２＝（ｄ／√ｂ）
Ａ_２１＝０
Ａ_２２＝√（ｃ－（ｄ^２／ｂ））

ここで得られた行列を使って検算すると、たしかに以下の式が成り立っている。
Ａ_ｔｍＡ_ｔｐ＝Ｆ_ｍｐ
Ａ_ｔｍの解のうち、この解が一番速く計算できる。

【総合解答】
上の別解を拡張して全てのＡ_ｔｍの解を計算する。
ｂＸ^２＋２ｄＸＹ＋ｃＹ^２＝１　（１）

以下の形のＸ、Ｙに関する恒等式を組み立てる。
ｂＸ^２＋２ｄＸＹ＋ｃＹ^２＝（ｆＸ＋ｇＹ）^２＋（ｈＸ＋ｋＹ）^２　（２）
Ｘ’＝ｆＸ＋ｇＹ
Ｙ’＝ｈＸ＋ｋＹ

上の恒等式２を組み立てると、最初の式１は以下の式３に書き換えることができる。
Ｘ’^２＋Ｙ’^２＝１　（３）
 
　以下では、先の式２が恒等式になるために必要なｆ，ｇ，ｈ，ｋの条件を求める。
ｆ^２＋ｈ^２＝ｂ　（４）
ｇ^２＋ｋ^２＝ｃ　（５）
２ｆｇ＋２ｈｋ＝２ｄ　（６）
必要な条件は以上の式４から６である。
 
式４から式６の連立方程式を解く。
ｆ＝（√ｂ）ｃｏｓα　（７）
ｈ＝（√ｂ）ｓｉｎα　（８）
ｇ＝（√ｃ）ｓｉｎβ　（９）
ｋ＝（√ｃ）ｃｏｓβ　（１０）

上のように式７から１０でｆ，ｇ，ｈ，ｋを定めると、式４と式５が成り立つ。
式６に式７から式１０を代入し、２で割ると以下の式を得る。
（√（ｂｃ））｛ｃｏｓα・ｓｉｎβ＋ｓｉｎα・ｃｏｓβ｝＝ｄ
ｓｉｎ（α＋β）＝ｄ／（√（ｂｃ））　（１１）
ここで、
α＋β＝θ　（１２）
とおいて、式１１を書き換えると、
ｓｉｎ（θ）＝ｄ／（√（ｂｃ））　（１３）
この式１３により、θが定まる。
任意のαと、固定した値のθとで、ｆ，ｇ，ｈ，ｋ全てがあらわされる。
式１２から、
β＝θ－α
として、式９と１０を書き換えると、
ｇ＝（√ｃ）ｓｉｎ（θ－α）　（１４）
ｋ＝（√ｃ）ｃｏｓ（θ－α）　（１５）
式１３で定められるθと任意の値のパラメータαを用いて、式７，８、１４、１５で、変換の全てのパラメータｆ，ｇ，ｈ，ｋが定められる。

【対称行列となる解】
これで解答が得られたが、このうち、パラメータｆ、ｇ、ｈ、ｋで定まる変換行列が対称行列になる特別な場合を調べておく。
ｇ＝ｈ＝（√ｃ）ｓｉｎ（θ－α）＝（√ｂ）ｓｉｎα
ｓｉｎα（－（√ｃ）ｃｏｓθ－（√ｂ））＋ｃｏｓα（（√ｃ）ｓｉｎθ）＝０
１／ｔａｎα＝（（√ｃ）ｃｏｓθ＋（√ｂ））／（（√ｃ）ｓｉｎθ）
ｃｏｓθ≧０とする解は
１／ｔａｎα
＝（（√ｃ）√（１－（ｄ^２／（ｂｃ）））＋（√ｂ））／（（√ｃ）（ｄ／（√（ｂｃ））））
＝（√（ｃ－（ｄ^２／ｂ））＋（√ｂ））／（（ｄ／（√ｂ）））
＝（√（ｂｃ－ｄ^２）＋ｂ）／ｄ
１／ｓｉｎα^２＝１＋（１／ｔａｎα）^２
＝｛ｄ^２＋（ｂｃ－ｄ^２）＋ｂ^２＋２ｂ√（ｂｃ－ｄ^２）｝／ｄ^２
＝｛ｂｃ＋ｂ^２＋２ｂ√（ｂｃ－ｄ^２）｝／ｄ^２
＝ｂ｛ｃ＋ｂ＋２√（ｂｃ－ｄ^２）｝／ｄ^２
ｇ^２＝ｈ^２＝ｂ・ｓｉｎ^２α＝ｄ^２／｛ｃ＋ｂ＋２√（ｂｃ－ｄ^２）｝
＝ｄ^２／｛ｃ＋ｂ＋２√（ｂｃ－ｄ^２）｝
ｂｃ－ｄ^２＝Δ　とおくと、
ｇ^２＝ｈ^２＝ｄ^２／｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
ｇとｈがｄと同じ符号を持つ解を求める。
ｇ＝ｈ＝ｄ／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
式１から、
ｆ＝ｈ／ｔａｎα＝（√（Δ）＋ｂ）／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
式０から
ｆｇ＋ｈｋ＝ｄ
（√（Δ）＋ｂ）ｄ／｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＋ｄｋ／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＝ｄ
（√（Δ）＋ｂ）／｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＋ｋ／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＝１
（√（Δ）＋ｂ）／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝＋ｋ＝√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
ｋ＝｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）－（√（Δ）＋ｂ）｝／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
＝｛ｃ＋√（Δ）｝／√｛ｃ＋ｂ＋２√（Δ）｝
以上で得た解を整理する。

ここで得たパラメータｆ，ｇ＝ｈ，ｋから成る１次変換の対称行列Ａ_ｔｍとパラメータｂ，ｃ，ｄからなる対称行列Ｆ_ｍｐとは、掛け算を計算してみると、演算順序を交換しても結果が変わりません。
これは、次のページで説明することですが、行列Ａ_ｔｍと行列Ｆ_ｍｐとは固有ベクトルを共有していることを意味します。
そのため、この行列Ａ_ｔｍは、最初に考察した１つの解、その固有値が行列Ｆ_ｍｐの固有値の平方根である対称行列の具体的な解になっています。

【対称行列となる変換行列Ａ_ｔｍの簡単な計算方法】
パラメータｆ、ｇ、ｈ、ｋで定まる変換行列Ａ_ｔｍが対称行列になる場合には、その行列の２乗が対称行列Ｆ_ｍｐになることを利用して、もっと簡単に変換行列Ａ_ｔｍを求めることができます。その計算方法を以下で説明します。
Ａ_ｔｍＡ_ｍｋ＝Ｆ_ｔｋ　（１）
この場合、行列Ｆ_ｔｋの行列式
ｂｃ－ｄ^２＝Δ
とおくと、
行列Ａ_ｔｍの行列式＝±√Δ
になります。このうち、行列式が√Δとなる解のみを求める。
行列Ａ_ｔｍに関するケイリー・ハミルトンの定理は以下の式になります。
Ａ_ｔｍＡ_ｍｋ－（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｔｋ＋（√Δ）Ｅ_ｔｋ＝０_ｔｋ　（２）
式２に式１を代入すると、
Ｆ_ｔｋ－（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｔｋ＋（√Δ）Ｅ_ｔｋ＝０_ｔｋ
（Ａ_１１＋Ａ_２２）Ａ_ｔｋ＝Ｆ_ｔｋ＋（√Δ）Ｅ_ｔｋ　（３）
この行列の対角要素の和を計算する。
（Ａ_１１＋Ａ_２２）^２＝Ｆ_１１＋Ｆ_２２＋２（√Δ）
（Ａ_１１＋Ａ_２２）＝√｛Ｆ_１１＋Ｆ_２２＋２（√Δ）｝＝√｛ｂ＋ｃ＋２（√Δ）｝
これを式３に代入する。

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固有ベクトルが同じ行列

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行列と連立１次方程式

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▷解説
▷対称行列
▷固有ベクトルの数が少ない異常な行列

【解説】
固有値はどうであれ、固有ベクトルが同じ２つの行列を考えます。
特に、ｎ行ｎ列の行列ならｎ個の共通する固有ベクトル
Ｐ_ｔ１
Ｐ_ｔ２
・・・
Ｐ_ｔｎ
が存在する”正常な”行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔを考えます。
（固有ベクトルの数がｎ個より少ない"異常な"行列は、対角化ができないという異常さがあります。ここでは、そういう異常な行列は考えないことにする）
それらのベクトルを固有ベクトルとする行列Ａ_ｓｔは、その固有ベクトルを並べた行列Ｐ_ｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｃ_ｕｋに変換できます。
Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋ＝Ｃ_ｕｋ　　　←Ａ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ＝Ｐ_ｓｕＣ_ｕｋＸ_ｋ

同じそれらのベクトルを固有ベクトルとする行列Ｂ_ｓｔも同様に、行列Ｐ_ｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｄ_ｕｋに変換できます。
Ｐ^－１_ｕｓＢ_ｓｔＰ_ｔｋ＝Ｄ_ｕｋ
対角化された行列ＣとＤでは、以下の関係が成り立ちます。
Ｃ_ｕｋＤ_ｋｓ＝Ｄ_ｕｋＣ_ｋｓ　　（１）
なぜなら、ｕ＝ｋ＝ｓの場合以外では、式１の項が０になるからです。そして、以下の式のように、ｕ＝ｋ＝ｓとなるｋ番目の対角成分がＣ_ｋｋＤ_ｋｋになり、その積の値は行列ＣとＤの積の順番には関係しないからです。

 式１により、対角行列の掛け算の順序が交換可能（可換）です。
この式１の左からＰ_ｍｕを掛け算して、右からはＰ^－１_ｓｔを掛け算します。 
Ｐ_ｍｕＣ_ｕｋＤ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ＝Ｐ_ｍｕＤ_ｕｋＣ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ
Ｐ_ｍｕＣ_ｕｐＰ^－１_ｐｗＰ_ｗｋＤ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ＝Ｐ_ｍｕＤ_ｕｐＰ^－１_ｐｗＰ_ｗｋＣ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ
Ａ_ｍｗＢ_ｗｔ＝Ｂ_ｍｗＡ_ｗｔ
∴　行列Ａ_ｍｗと行列Ｂ_ｗｔの掛け算の順序が交換可能（可換）です。

《行列が交換可能ならば固有ベクトルが等しいか？》
　逆に、ｎ行ｎ列の行列に関して、ｎ個の固有ベクトルの数を完備する”正常な”行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔの掛け算の順序が交換可能（可換）な場合に、もし、行列 の固有値が全て異なる場合には、行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルｎ個が、そっくりそのまま、行列Ｂ_ｓｔの固有ベクトルでもあります。
（行列Ａの複数の固有値が等しい場合は、行列Ａが行列Ｂと交換可能（可換）であっても、行列Ａの固有ベクトルが行列Ｂの固有ベクトルになるとは限らない）
　そのことを以下で証明します。
Ａ_ｍｗＢ_ｗｔ＝Ｂ_ｍｗＡ_ｗｔ　　（２）
この行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルｎ個を並べた行列をＰ_ｍｕとします。
この式２の左からＰ^－１_ｕｍを掛け算して、右からはＰ_ｔｓを掛け算します。 
Ｐ^－１_ｕｍＡ_ｍｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ
＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｗＡ_ｗｔＰ_ｔｓ
Ｐ^－１_ｕｍＡ_ｍｐＰ_ｐｋＰ^－１_ｋｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ
＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｋＰ^－１_ｋｗＡ_ｗｔＰ_ｔｓ
Ｃ_ｕｋＰ^－１_ｋｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ
＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｋＣ_ｋｓ
ここで、Ｃ_ｕｋは対角行列であるから、
その対角された成分（固有値）を順番にα_ｕとすると、
α_ｕＰ^－１_ｕｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ ＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓα_ｓ
α_ｕＰ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓ ＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓα_ｓ
（α_ｕ－α_ｓ）Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓ＝０_ｕｓ　（３）
《ここで、行列Ａ_ｍｗの全ての固有値α_ｕが異なる場合は、》
式３の左辺の行列のｕ行ｓ列のｕ≠ｓである成分を（α_ｕ－α_ｓ）で割り算した結果が式３の右辺の０行列の各成分の値０と等しくなります。
ｕ≠ｓの場合、
Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓ＝０_ｕｓ
すなわち、Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓは対角行列になります。
つまり、行列Ｂ_ｍｐも、行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルの作る行列Ｐ_ｐｓで対角化できます。
行列Ｂ_ｍｐを対角化できる行列Ｐ_ｐｓの各縦ベクトルは、行列Ｂ_ｍｐの固有ベクトルです。
∴　（行列Ａ_ｍｗの全ての固有値α_ｕが異なる場合は）
行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔの掛け算の順序が交換可能（可換）な場合には、行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルｎ個が、そっくりそのまま、行列Ｂ_ｓｔの固有ベクトルになります。

よって、行列が単位行列の定数倍以外であって、行列の固有値が重解（重根）を持たないときは、
（１）行列ＡとＢの固有ベクトル（の方向）が同じならば、行列の積ＡＢ＝ＢＡになり、
（２）また、行列の積ＡＢ＝ＢＡならば、 行列ＡとＢの固有ベクトル（の方向）が同じになります。

《一方、行列Ａ_ｍｗの固有値α_ｕに同じ値の重複がある場合は、》
ｕ≠ｓであっても、α_ｕ＝α_ｓである（行列Ａの固有値に重複がある）場合は、
Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓが０で無く、行列Ｂ_ｍｐが行列Ａの固有ベクトルで作った行列Ｐ_ｐｓで対角化され無くても、行列の積ＡＢ＝ＢＡという交換関係がある。行列ＡにもＢにも共有されている正しい固有ベクトルは、固有値の重複がある行列Ａの固有ベクトルを解くことでは見分けにくくなっている。

《対称行列》
　対称行列では、（固有値が異なる）固有ベクトルは互いに直交する。また、固有値が同じ固有ベクトルも、互いに直交する固有ベクトルに変換できる。そして、対称行列の固有ベクトルは、正規直交系を成す固有ベクトルを選ぶことができる。対称行列Ａと対称行列Ｂが、共通する、（直交系を成す）固有ベクトルによって対角化されている場合は、行列の積ＡＢ＝ＢＡという交換関係がある。
（具体例）
（行列Ａ）
１，１，０
１，０，１
０，１，１
の固有値を計算すると、１，－１，２であり、３つの異なる固有値を持つ。
その固有ベクトル（縦ベクトル）は、

がある。
これらの固有ベクトルは互いに直交している。
（行列Ｂ）
０，１，１
１，０，１
１，１，０
の固有値を計算すると、－１が２つ（重複）と、２とである。
その固有ベクトル（縦ベクトル）は、

があるが、固有値－１に係る２つの固有ベクトル

が直交していない。

ここで、行列ＡとＢには、行列の積ＡＢ＝ＢＡという交換関係がある。
固有値の値が全て異なる行列Ａの固有ベクトル

を使って行列Ｐを作ると、
Ｐ^－１ＡＰが対角行列になり、
Ｐ^－１ＢＰも対角行列になる。

しかし、固有値の値が重複している行列Ｂの固有ベクトル

を使って行列Ｐを作ると、
Ｐ^－１ＢＰは対角行列になるが、
Ｐ^－１ＡＰは対角行列にならない。
ここで、行列Ｂの固有値－１に係る２つの固有ベクトルの、

を線形結合すると、
行列Ａの２つの固有ベクトルの、

が作れる。その固有ベクトルは、互いに直交し、他の固有ベクトルとも直交する。
そのように整えて、行列Ａの固有ベクトルと同じ固有ベクトルにした縦ベクトルで行列Ｐを作るならば、
Ｐ^－１ＢＰも、
Ｐ^－１ＡＰも、対角行列になる。
　そのように、行列Ｂの重複する固有値に係る固有ベクトルを、互いに直交させつつ、かつ、他の固有ベクトルとも直交するベクトルに整える。その固有ベクトルを行列Ａの固有ベクトルと同じにすることで、その固有ベクトルで作る行列Ｐを使って、行列Ａも行列Ｂも対角化させることができる。
（注意）
　重複する固有値を持つ行列Ｂの固有ベクトルは、固有ベクトル同士が直交はするが、行列Ａ用とは異なる方向の固有ベクトル系に整えることもできる。行列Ｂは、その異なる固有ベクトル系を共有する他の行列Ｃとも、行列の積ＢＣ＝ＣＢである交換関係がある。

　なお、行列ＡとＢが共有する固有ベクトルを大きさが１の単位ベクトルにした（正規直交系を成す）固有ベクトルで作った行列Ｐは以下の形になる。


《直交しない固有ベクトルを持つ行列》
非対称な行列Ａ：

は、固有値１の固有ベクトル

を持つ。
また、固有値２の固有ベクトル

を持つ。
行列Aを対角化する行列Ｐは、その固有ベクトルを並べた行列であり、

である。その逆行列Ｐ^ー１は、以下の行列

である。それらを使って行列Ａが対角化でき、
Ｐ^ー１ＡＰが、

という対角行列になる。

【対角行列】
　対角行列の固有ベクトルは（１，０）と（０，１）で、この固有ベクトルをすべての対角行列が共有する。
そのため対角行列同士では行列の積が交換可能である。
（固有値に重複が無い）対角行列との行列の積が交換可能な行列は対角行列の一種である。

【回転行列】

　また、回転行列の固有ベクトルは（ｉ，１）と（ｉ，－１）であって、この固有ベクトルはすべての回転行列が共有する。 
そのため、回転行列同士では行列の積が交換可能。
回転行列との行列の積が交換可能な行列は回転行列である。

固有ベクトルを共有する行列は行列の積が交換可能であるという原理は、大学で量子力学を学ぶときなどに利用されます。

【単位行列Ｅ _ｍｗとその他の行列との積の交換関係】
ｎ行ｎ列の単位行列のｎ個の固有値は全て１であって等しい。
この単位行列は、全ての行列と行列の積が交換可能である。
単位行列の固有ベクトルは全ての方向のベクトルが固有ベクトルである。
そのため、単位行列は全ての行列と、固有ベクトルを共有することが可能である。
そのことは、以下の様に言うこともできる。
（単位行列Ｅ_ｍｗの全ての固有値α_ｕが等しい場合）
単位行列Ｅ_ｓｔと任意の行列Ｂ_ｓｔの掛け算の順序がいつでも交換可能（可換）である。その場合に、行列Ｂ_ｍｗの固有ベクトルｎ個を、そっくりそのまま、単位行列Ｅ_ｓｔの固有ベクトルにすることができる。しかし、単位行列Ｅの固有ベクトルのセットのうちには、行列Ｂを対角化できないものもあるのです。

固有ベクトルが一致する関係が成り立つことが本質的に重要です。
２行２列の行列の場合に、行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔの掛け算の順序が交換可能（可換）な場合に、
Ｂ_ｓｔ＝βＡ_ｓｔ＋γＥ_ｓｔ
となることが試験問題に出されていますが、それは、２行２列の行列で、固有ベクトルが同じ行列がそういう式であらわされるからです。
２行２列の行列でこの関係が成り立つ理由は、
２行２列の行列に限っては、あらゆる対角行列Ｄ_ｓｔは、固有値の異なる対角行列Ｃ_ｓｔを使って、
Ｄ_ｓｔ＝βＣ_ｓｔ＋γＥ_ｓｔ
とあらわすことができることに由来します。
しかし、３行３列以上の行列では、
計算順序が交換可能（可換）な行列同士では、共有する固有ベクトルを持つが、
Ｂ_ｓｔ＝βＡ_ｓｔ＋γＥ_ｓｔという関係は必ずしも成り立たない。その関係は、可換な行列同士に普遍的に成り立つ関係ではありません。

しかしながら、それにより、
「２行２列の行列に限っては、単位行列と足し合わせることで、計算順序が交換できる全ての行列を作ることができる」
という便利な関係があることがわかります。

【楕円をあらわす行列と固有ベクトルが同じ行列を作って楕円の固有ベクトル（軸ベクトル）を計算する】

この行列には、列ベクトル同士の内積が０になる、すなわち、列ベクトルが直交するという特別な性質があります。
そのため、この行列は以下のようにあらわすことができます。

 

 この行列Ｓは、以下のように、ベクトルを、傾き角θの直線に関して対称なベクトルに変換する行列です。

つまり、傾き角度θの直線の方向のベクトル成分はそのままにして、それに直交する方向のベクトル成分には－１を掛け算する変換をする行列です。

 傾き角度θの直線の方向のベクトルが第１の固有ベクトルであり、それに直交する方向のベクトルが第２の固有ベクトルです。

それらの固有ベクトルは、以下のように計算することができます。

こうして求めた固有ベクトルは、元の、楕円を与える行列Ｆの固有ベクトルでもあります。

　こうして、楕円の行列Ｆの固有ベクトル、すなわち、楕円の軸方向のベクトルが求められた。

《固有ベクトルの数が行列の列の数のｎ個より少ない"異常な"行列Ａの場合》
　その行列Ａは対角化できない（三角化はできる）という異常さがあります。しかしながら、その異常な行列Ａも、固有ベクトルを共有する行列Ｂ（同じく異常な行列）との間に、（ＡＢ＝ＢＡ）という交換可能（可換）の関係を持ちます。（相手が正常な行列の場合は、単位行列Ｅとは可換）
（例）固有値が１の重根を持つ行列Ａ：

は、固有ベクトル

を１つのみ持つ。
その固有ベクトルと同じ固有ベクトルを持つ行列Ｂ：

は、行列Ａとの積が交換可能（可換）な関係があり、以下の式が成り立つ。

なお、行列Ｂは行列Ａと同じ固有ベクトルを持つ上に、その固有値も、行列Ａと同じ１の重根である。ただし、行列Ｂの全ての成分を２倍にすれば、固有値も２倍になる。その場合の行列Ｂも行列Ａと可換である。



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