行列式が０になる行列は、余因子行列の列ベクトルを０ベクトルに変換する

 
 
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

行列Ａ_ｍｐに対する余因子行列Ｂ_ｓｔを、以下の式で定義します。

（１）
２行２列の行列Ａ_ｍｐの余因子行列Ｂ_ｓｔは、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Ｂ_１ｍ＝ε_ｍｐＡ_ｐ２
Ｂ_２ｐ＝ε_ｍｐＡ_ｍ１
で計算します。
（補足）これらの式は、行列式ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２の計算式から、余因子行列Ｂ_ｓｔに対応して、行列Ａのｓ列目の項を除去した式です。
この計算に利用する行列
ε_ｍｐ
は、
ε_１２＝１，
ε_２１＝－１
であり、それ以外の
ε_ｍｐ＝０
です。
余因子行列Ｂ_ｓｔは、具体的には、
Ｂ_１１＝Ａ_２２
Ｂ_１２＝－Ａ_１２
Ｂ_２１＝－Ａ_２１
Ｂ_２２＝Ａ_１１

こうして計算した余因子行列Ｂ_ｓｔを行列Ａ_ｍｐに掛け算すると、
行列Ａ_ｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ_１ｍＡ_ｍ１＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Δ
Ｂ_１ｍＡ_ｍ２＝ε_ｍｐＡ_ｍ２Ａ_ｐ２＝０
Ｂ_２ｐＡ_ｐ１＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ１＝０
Ｂ_２ｐＡ_ｐ２＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Δ
∴
Ｂ_ｓｔＡ_ｔｐ＝Δ・Ｅ_ｓｐ
このＥ_ｓｐは、単位行列。

 （２）
３行３列の行列Ａ_ｍｐの余因子行列Ｂ_ｓｔは、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐｓを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Ｂ_１ｍ＝ε_ｍｐｓＡ_ｐ２Ａ_ｓ３
Ｂ_２ｐ＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｓ３
Ｂ_３ｓ＝ε_ｍｐｓＡ_m１Ａ_ｐ２
で計算します。
（補足）これらの式は、行列式ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３の計算式から、余因子行列Ｂ_ｓｔに対応して、行列Ａのｓ列目の項を除去した式です。
この計算に利用する行列
ε_ｍｐｒ
は、
ε_１２３＝ε_２３１＝ε_３１２＝１
ε_２１３＝ε_３２１＝ε_１３２＝－１
であり、それ以外の
ε_ｍｐｒ＝０
です。

こうして計算した余因子行列Ｂ_ｓｔを行列Ａ_ｍｐに掛け算すると、
３行３列の行列Ａ_ｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ_１ｍＡ_ｍ１＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３＝Δ
Ｂ_１ｍＡ_ｍ２＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ２Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３＝０
・・・
結局、
Ｂ_ｓｍＡ_ｍｐ＝Δ・Ｅ_ｓｐ
このＥ_ｓｐは、単位行列。

（３）
このように、余因子行列Ｂ_ｓｍは、
行列Ａ_ｍｐの左から掛け算することで、Δ・Ｅ_ｓｐ
となる行列です。

（４）
また、行列Ａ_ｍｐの右から掛け算する場合も、同じことになります。
そうなるのは、行列式が以下の式でもあらわせることに由来します。
つまり、２行２列の行列式Δは、
Δ＝ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２
Δ＝ε_ｍｐＡ_１ｍＡ_２ｐ
ともあらわせ、
また、３行３列の行列式Δは、
Δ＝ε_ｍｐｓＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｓ３
Δ＝ε_ｍｐｓＡ_１ｍＡ_２ｐＡ_３ｓ
ともあらわせることに由来します。
（この証明は省略）

以下では、余因子行列Ｂ_ｓｍの右側からの掛け算でも、この関係を満足することを確認するために、２行２列の行列を例に、直接計算してみます。
Ｂ_１１＝Ａ_２２
Ｂ_１２＝－Ａ_１２
Ｂ_２１＝－Ａ_２１
Ｂ_２２＝Ａ_１１
この余因子行列Ｂ_ｔｍの左から行列Ａ_ｓｔを掛け算すると、
Ａ_１ｔＢ_ｔ１＝Ａ_１１Ｂ_１１＋Ａ_１２Ｂ_２１＝Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_１２Ａ_２１＝Δ
Ａ_１ｔＢ_ｔ２＝Ａ_１１Ｂ_１２＋Ａ_１２Ｂ_２２＝－Ａ_１１Ａ_１２＋Ａ_１２Ａ_１１＝０
Ａ_２ｔＢ_ｔ１＝Ａ_２１Ｂ_１１＋Ａ_２２Ｂ_２１＝Ａ_２１Ａ_１１－Ａ_２２Ａ_２１＝０
Ａ_２ｔＢ_ｔ２＝Ａ_２１Ｂ_１２＋Ａ_２２Ｂ_２２＝－Ａ_２１Ａ_１２＋Ａ_２２Ａ_１１＝Δ
∴
Ａ_ｓｔＢ_ｔｍ＝Δ・Ｅ_ｓｍ

このように、余因子行列Ｂ_ｔｍは、
行列Ａ_ｓｔの右から掛け算しても左から掛け算しても、Δ・Ｅ_ｓｍ
となる行列です。

（５）
ベクトルＢ_ｔ１に対して、
（ベクトルＢ_ｔ１は、（Ｂ_１１，　Ｂ_２１）です。）
Ａ_ｓｔＢ_ｔ１＝Δ・Ｅ_ｓ１
そのため、行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
行列Ａ_ｓｔは、ベクトルＢ_ｔ１を０ベクトルに変換します。

このベクトルはこの行列の固有値０に対する固有ベクトルです。
また、ベクトルＢ_ｔ２に対しても、
Ａ_ｓｔＢ_ｔ２＝Δ・Ｅ_ｓ２
そのため、行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
行列Ａ_ｓｔは、ベクトルＢ_ｔ２も０ベクトルに変換します。

２行２列の行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
ベクトルＢ_ｔ１とベクトルＢ_ｔ２は、同じ方向を向いた平行なベクトルです（証明は省略）。そのため、そのうち一方だけで（ただし、それが０ベクトルで無いベクトルを選ぶこと）、０ベクトルに変換されるベクトルの代表にすることができます。

このように、行列Ａ_ｓｔの行列式Δ＝０の場合、
その余因子行列の列ベクトルＢ_ｔ１（又はＢ_ｔ２）は、行列Ａ_ｓｔが０ベクトルに変換します。

しかし、行列Ａが、
１，１，１
０，０，０
０，０，０
のような行列の場合、
その余因子行列Ｂは、全ての成分が０である０行列になる。
その行列Ａは、縦ベクトル（１，－１，０）や縦ベクトル（１，０，ー１）を０ベクトルに変換する。
しかし、その縦ベクトルを余因子行列Ｂの各列ベクトル（０ベクトル）の合成によって作ることができない。そのように、行列Ａによって０ベクトルに変換される縦ベクトルのうち、余因子行列Ｂの縦ベクトルから作れないベクトルもあるので注意すること。




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