大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式
（単位行列について）
単位行列Ｅｍｐは、
ｍ≠ｐのとき、Ｅｍｐ＝０，
ｍ＝ｐのとき、Ｅｍｍ＝１である。
（０行列について）
０行列０ｍｐは、
ｍとｐがどの場合も、０ｍｐ＝０
【余因子行列】
余因子行列は、逆行列を導く基礎の行列で重要な行列ですが、高校生には教えられていません。高校生向けの一部の参考書に「余因子行列」の名前が登場するのみです。
余因子行列の持つ数学的意味は大きく、そのため、余因子行列の全てを学ぶには、かなりの時間を必要とします。教育時間にゆとりを持てない「ゆとり教育」の下では、それを教えるゆとりが無いようです。
そのため、高校生に余因子行列を教えるのはタブーになっているようなので、高校生の間は、以下の余因子行列の性質を知っても、その知識を隠して生活して下さい。自分自身が行列の性質を理解する助けにするためだけに用いるようにしてください。
（１）２行２列の行列の余因子行列
２行２列の行列Ａｍｐに対する行列式Δは、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Δ＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２
で計算しましたが、
その行列Ａｍｐに対する余因子行列Ｂｓｔは、
その積の要素の１つを空欄にした以下の式で定義します。
Ｂ１ｍ＝εｍｐＡｐ２ ・・・行列式ΔのＡｍ１を空欄にした。
Ｂ２ｐ＝εｍｐＡｍ１ ・・・行列式ΔのＡｐ２を空欄にした。
この計算に利用する行列
εｍｐ
は、ｍ≠ｐの場合では、
ε１２＝１，
ε２１＝－１
であり、
それ以外の、
ｍ＝ｐとなるεｍｐは、
ε１１＝ε２２＝０
です。
ここで、
余因子行列Ｂ＝ｔ（余因子の行列Ｑ）
Ｑの左上の添え字ｔは「転置行列」＝行と列を入れ替えた行列、をあらわす記号です。
Ｂｓｔ＝ｔＱｓｔ＝Ｑｔｓ
＝Ｑｍ１＝εｍｐＡｐ２ ・・・行列式ΔのＡｍ１を空欄にした。
Ｂ２ｐ＝ｔＱ２ｐ
＝Ｑｐ２＝εｍｐＡｍ１ ・・・行列式ΔのＡｐ２を空欄にした。
このＱｍ１は、Ａｍ１を含む行列式Δと、行列εｍｐによって以下のように関係付けられています。
つまり、行列εｍｐは、行列式Δの計算において、Ａｍ１が掛かって成る項Ａｍ１Ａｐ２に関して、それに１を掛け算して加え合わせるか、（－１）を掛け算することで引き算するか、あるいは、それに０を掛け算することでその項は無くすか、の計算の制御を行なっています。
Ｑｍ１は、その計算の制御を行なう行列εｍｐを持っているので、
Ｑｍ１にも、そのＡｍ１に関するＡｍ１Ａｐ２の項に対応して、行列式Δと同じ計算の制御によってＡｐ２の項が加えられます。
ちなみに、行列式Δは、Δ＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２
で計算するので、
Δ＝（εｍｐＡｍ１）Ａｐ２＝Ｑｐ２Ａｐ２
が成り立ち、かつ、
Δ＝（εｍｐＡｐ２）Ａｍ１＝Ｑｍ１Ａｍ１
が成り立ちます。
この式が意味することは、
（ａ）行列式Δを構成するどの項も、いずれかのｐ（ｐ＝１又は２）のＡｐ２が掛かっています。
（ｂ）行列式Δを構成するどの項も、いずれかのｍ（ｍ＝１又は２）のＡｍ１が掛かっています。
（ｃ）そして、
Ｑｋ１＝εｋｐ１・Ａｐ２＋εｍｐ０ｍ１・Ａｐ２
ですので、
Ｑｋ１は、Ａｋ１を１にし、ｍ≠ｋであるＡｍ１を０にして、Ａｋ１が掛かる項のみを計算した行列式でもあります。
そのため、余因子の行列Ｑｔｓは、行列式Δを構成する多数の項から、Ａｔｓに掛かる係数を集めて（２行２列の行列の場合は係数は１つしかありませんが）それを要素Ｑｔｓとした行列です。
つまり、
行列式はΔ＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２≡Σｍｐ(εｍｐＡｍ１Ａｐ２)
＝ε１２Ａ１１Ａ２２＋ε２１Ａ２１Ａ１２
＝Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２です。
この行列式の計算式では、アインシュタインの縮約記法によって、εｍｐのｍは、あらゆる値のｍ（及びあらゆる値のｐ）で式の和をとります。
一方、余因子の式のＱｍ１＝εｍｐＡｐ２のεｍｐのｍは、Ｑｍ１のｍに対応する１つのｍに限定されていて、
εｍｐのｐのみがあらゆる値の場合について式の和をとります。
例えば、余因子の１つのＱ１１＝ε１ｐＡｐ２≡Σｐ(ε１ｐＡｐ２）
＝（ε１１Ａ１２＋ε１２Ａ２２）＝Ａ２２です。
この値Ａ２２は、行列式の和を構成する項のうち、Ａ１１が掛かった項、すなわち、項Ａ１１Ａ２２のＡ１１に掛かる値です。
他のＱｔｓも、同様に、行列式Δの和を構成する項のうち、Ａｔｓが掛かった項における、Ａｔｓに掛かる値です。
この余因子の行列Ｑにおける列ベクトルＱｔ１＝εｔｐＡｐ２は、列ベクトルＡｐ２に垂直なベクトルです。
余因子の行列の要素Ｑｔ１は、行列Ａの行列式のうち、Ａｔ１に掛かる係数です。
そして、この余因子の行列Ｑには、その列ベクトルと、行列Ａの列ベクトルの内積を計算すると、
行の番号同士が一致すれば、内積の結果がΔになり、行の番号が一致しなければ、内積が０になるという大切な性質があります。
Ａｔ１・Ｑｔ１＝Ａｔ１・εｔｐＡｐ２＝εｔｐＡｔ１Ａｐ２＝Δ
Ａｔ２・Ｑｔ１＝Ａｔ２・εｔｐＡｐ２＝εｔｐＡｔ２Ａｐ２＝０
Ａｔ１・Ｑｔ２＝Ａｔ１・εｐｔＡｐ１＝εｐｔＡｐ１Ａｔ１＝０
Ａｔ２・Ｑｔ２＝Ａｔ２・εｐｔＡｐ１＝εｐｔＡｐ１Ａｔ２＝Δ
この各ベクトル同士の内積の結果を行列の形にまとめると、
すなわち、行列Ａのｍ列目の列ベクトルと、行列Ｑのｐ列目の列ベクトルとの内積の結果を、ｍ行ｐ列の行列にまとめてあらわすと、以下の式になる。
Ａｔｍ・Ｑｔｐ＝Δ・Ｅｍｐ
この関係がある理由は、
Ｑｔ１は、行列Ａの行列式の各項から、Ａｔ１に掛かる係数を抽出した結果だからです。
その各係数Ｑｔ１に各Ａｔ１を掛け合わせて、全てのｔの場合についての和を取れば行列式の値そのものを計算する式に戻ります。
また、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせれば、それは、行列式の計算において、Ａｔ１の列ベクトルの位置にＡｔ２の列ベクトルを置いて行列式を計算することに等しくなります。
行列式の計算では、２つの列ベクトルが等しければ、その行列式は０になります。
そのため、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせるということを行なうと、Ａｔ２の列ベクトルが２行ある行列の行列式を計算することに等しくなり、その計算結果は、
Ａｔ２・Ｑｔ１＝０
になります。
（このため、余因子の行列の列ベクトルＱｔ１は、元の行列の余りのベクトルＡｔ２に垂直なベクトルです）
このように作られた列ベクトルで構成される行列Ｑｔｓを、行列の掛け算の計算規則の中で便利に使えるように、その行と列を入れ替えて定義したのが余因子行列Ｂｓｔです。
行列の掛け算の計算規則では、ベクトルの内積は行ベクトルと列ベクトルの積であらわされるから列を行と入れ替えたのです。
余因子行列Ｂｓｔは、余因子の行列Ｑｔｓの行と列を入れ替えた行列で、
Ｂ１１＝Ａ２２
Ｂ１２＝－Ａ１２
Ｂ２１＝－Ａ２１
Ｂ２２＝Ａ１１
です。
こうして計算した余因子行列Ｂｓｔを行列Ａｍｐに掛け算すると、
行列Ａｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ１ｍＡｍ１＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２＝Δ
Ｂ１ｍＡｍ２＝εｍｐＡｍ２Ａｐ２＝０
上の計算は２つの列ベクトルが同じ行列の行列式を計算することになるので、値が０になる。
Ｂ２ｐＡｐ１＝εｍｐＡｍ１Ａｐ１＝０
Ｂ２ｐＡｐ２＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２＝Δ
∴
ＢｓｔＡｔｐ＝Δ・Ｅｓｐ
このＥｓｐは、単位行列。
（２）３行３列の行列の余因子行列
３行３列の行列Ａｍｐに対する行列式Δは、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐｓを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Δ＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２Ａｓ３
で計算しましたが、
その行列Ａｍｐに対する余因子行列Ｂｓｔは、
その積の要素の１つを空欄にした以下の式で定義します。
Ｂ１ｍ＝εｍｐｓＡｐ２Ａｓ３ ・・・行列式ΔのＡｍ１を空欄にした。
Ｂ２ｐ＝εｍｐｓＡm１Ａｓ３ ・・・行列式ΔのＡｐ２を空欄にした。
Ｂ３ｓ＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２ ・・・行列式ΔのＡｓ３を空欄にした。
この計算に利用する行列（正しくはテンソルと言う）
εｍｐｒ
は、
ε１２３＝ε２３１＝ε３１２＝１
ε２１３＝ε３２１＝ε１３２＝－１
であり、それ以外の
εｍｐｒ＝０
です。
こうして計算した余因子行列Ｂｓｔを行列Ａｍｐに掛け算すると、
３行３列の行列Ａｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ１ｍＡｍ１＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２Ａｓ３＝Δ
Ｂ１ｍＡｍ２＝εｍｐｓＡｍ２Ａｐ２Ａｓ３＝０
・・・
結局、
ＢｓｍＡｍｐ＝Δ・Ｅｓｐ
このＥｓｐは、単位行列。
（３）
このように、余因子行列Ｂｓｍは、行列Ａｍｐと掛け算することで、Δ・Ｅｓｐ
となる行列です。
ＢｓｍＡｍｐ＝Δ・Ｅｓｐ
【余因子行列の可換性】
また、余因子行列Ｂｓｍは、
ＡｐｓＢｓｍ＝Δ・Ｅｐｍ
となる行列でもあります。
（証明開始）
余因子の行列Ｑｍｓにおいて、行列Ａｔｓのｓ列目の列ベクトルと行列Ｑｍｓのｐ列目の列ベクトルとの内積について、
Ａｔｓ・Ｑｔｐ＝Δ・Ｅｓｐ
が成り立ちましたが、それは行列式の計算に帰着したためでした。
一方、行列式は、行と列を入れ替えても同じ結果になりますので、
行ベクトル同士の内積も行列式の計算に帰着し、
行列Ａのｍ行目の行ベクトルＡｍｔと行列Ｑのｐ行目の行ベクトルＱｐｔとの内積について、以下の式が成り立ちます。
Ａｍｔ・Ｑｐｔ＝Δ・Ｅｍｐ
この関係によって、以下の式が成り立ちます。
ＡｍｔＢｔｐ＝Δ・Ｅｍｐ
（証明おわり）
なお、上の式は、「行列Ａの行列式Δが０の場合は、行列Ａは、余因子行列Ｂの各列ベクトルを０ベクトルに変換する」ということも表している。その場合は、その行列Ａを行基本変形して作った行列も、同じ列ベクトルを０ベクトルに変換する。
しかし、行列Ａが、
１，１，１
０，０，０
０，０，０
のような行列の場合、
その余因子行列Ｂは、全ての成分が０である０行列になる。
その行列Ａは、縦ベクトル（１，－１，０）や縦ベクトル（１，０，ー１）を０ベクトルに変換する。
しかし、その縦ベクトルを余因子行列Ｂの各列ベクトル（０ベクトル）の合成によって作ることができない。そのように、行列Ａによって０ベクトルに変換される縦ベクトルのうち、余因子行列Ｂの縦ベクトルから作れないベクトルもあるので注意すること。
【余因子行列の注意点】
余因子行列は、大学生も間違え易い、以下の問題点がありますので、ここで注意点を指摘しておきます。
余因子行列Ｂ＝ｔ（余因子の行列Ｑ）
Ｑの左上の添え字ｔは「転置行列」＝行と列を入れ替えた行列、をあらわす記号です。
Ｂｓｔ＝ｔＱｓｔ＝Ｑｔｓ
Ｂ１ｍ＝Ｑｍ１＝εｍｐｓＡｐ２Ａｓ３
Ｂ２ｐ＝Ｑｐ２＝εｍｐｓＡｍ１Ａｓ３
Ｂ３ｓ＝Ｑｓ３＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２
余因子Ｑｔｓは、もとの行列式よりも１つ次元の低い行列式で計算されています。
【３次元ベクトルの外積】
この余因子の行列Ｑにおける列ベクトルＱｍ１＝εｍｐｓＡｐ２Ａｓ３は、列ベクトルＡｐ２と列ベクトルＡｓ３との張る平面に垂直なベクトルです。この列ベクトルＱｍ１は、列ベクトルＡｐ２と列ベクトルＡｓ３との外積と呼ばれています。そしてその２つのベクトルが作る平行四辺形の面積の値の長さを持ちます。
（ベクトルの外積の応用：三角錐の底面を構成する２つのベクトルの外積をベクトルＱとします。そのベクトルＱの長さを１にした単位ベクトルと三角錐の頂点の位置のベクトルＧとの内積は、その三角錐の頂点の底面に対する高さです）
そして、この余因子の行列Ｑには、その列ベクトルと、行列Ａの列ベクトルの内積を計算すると、
行の番号同士が一致すれば、内積の結果がΔになり、行の番号が一致しなければ、内積が０になるという大切な性質があります。
Ａｔ１・Ｑｔ１＝Ａｔ１・εｔｐｓＡｐ２Ａｓ３＝εｔｐｓＡｔ１Ａｐ２Ａｓ３＝Δ
Ａｔ２・Ｑｔ１＝Ａｔ２・εｔｐｓＡｐ２Ａｓ３＝εｔｐｓＡｔ２Ａｐ２Ａｓ３＝０
Ａｔ３・Ｑｔ１＝Ａｔ３・εｔｐｓＡｐ２Ａｓ３＝εｔｐｓＡｔ３Ａｐ２Ａｓ３＝０
すなわち、この各ベクトル同士の内積の結果を行列の形にまとめると、
Ａｔｐ・Ｑｔｍ＝ΔＥｐｍ
という関係があります。
行ベクトル同士の内積でも同じ関係があります。
Ａｐｔ・Ｑｍｔ＝ΔＥｐｍ
（Ａｔ１・Ｑｔ１＝Δという関係がある理由）
Ｑｔ１は、行列Ａの行列式の各項から、Ａｔ１に掛かる係数を集めて、その係数の和を求めた結果だからです。
その各係数Ｑｔ１毎に各Ａｔ１を掛け合わせて、全てのｔの場合についての和を取れば行列式の値そのものを計算する式に戻ります。
（Ａｔ２・Ｑｔ１＝０という関係がある理由）
また、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせれば、それは、行列式の計算において、Ａｔ１の列ベクトルの位置にＡｔ２の列ベクトルを置いて行列式を計算することに等しくなります。
行列式の計算では、２つの列ベクトルが等しければ、その行列式は０になります。
そのため、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせるということを行なうと、Ａｔ２の列ベクトルが２行ある行列の行列式を計算することに等しくなり、その計算結果は、
Ａｔ２・Ｑｔ１＝０
になります。
（余因子行列Ｂｓｔが余因子の行列Ｑｔｓの行と列を入れ替えた理由）
このように作られた列ベクトルで構成される行列Ｑｔｓを、行列の掛け算の計算規則の中で便利に使えるように、その行と列を入れ替えて定義したのが余因子行列Ｂｓｔです。
行列の掛け算の計算規則では、ベクトルの内積は行ベクトルと列ベクトルの積であらわされるから列を行と入れ替えたのです。
【２行２列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理の証明】
２行２列の行列Ａｍｐの余因子行列Ｂｓｔは、
Ｂ１１＝Ａ２２
Ｂ１２＝－Ａ１２
Ｂ２１＝－Ａ２１
Ｂ２２＝Ａ１１
でしたので、
Ａｍｐ＋Ｂｍｐ＝（Ａ１１＋Ａ２２）Ｅｍｐ
（要注意）この関係が成り立つのは２行２列の行列の場合だけに限ります。
両辺にＡｐｔを（右から）掛け算すると、
ＡｍｐＡｐｔ＋ＢｍｐＡｐｔ＝（Ａ１１＋Ａ２２）ＥｍｐＡｐｔ
ＡｍｐＡｐｔ＋Δ・Ｅｍｔ＝（Ａ１１＋Ａ２２）Ａｍｔ
これは、２行２列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理です。
この証明過程を覚えるとケイリー・ハミルトンの定理が覚え易くなると思います。
【ケイリー・ハミルトンの定理の（正規な）証明】
上記の証明は、偶然に証明ができたような証明であって、確実な礎がある解答ではなかった。そのため、以下では、問題の本質に正面から迫る方法でケイリー・ハミルトンの定理を証明する。
先ず、ケイリー・ハミルトンの定理は、行列式
Δｘ＝ｄｅｔ［Ａｐｔ－ｘＥｐｔ］＝０
の方程式のｘを行列Ａｐｔに置き換え、係数項を単位行列Ｅｐｔの係数倍に置き換えた式が成り立つという定理です。
この、「置き換え」がされる必然性が証明されなければ、ケイリー・ハミルトンの定理を証明したことにはならないと考える。
上の行列式の方程式は、
Δｘ＝（Ａ１１－ｘ） （Ａ２２－ｘ）－Ａ２１Ａ１２＝０
ケイリー・ハミルトンの定理は、
（Ａ１１Ｅｐｔ－Ａｐｔ）（Ａ２２Ｅｔｓ－Ａｔｓ）－Ａ２１Ａ１２Ｅｐｓ＝０・Ｅｐｓ
です。
これを証明するために、行列（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）の余因子行列Ｂｐｔを考える。この場合に、以下の式１が成り立つ。
（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）Ｂｔｓ＝ΔｘＥｐｓ （式１）
この余因子行列Ｂｐｔは、その要素である余因子が元の行列の要素の１次式により計算される。そのため、余因子行列は、変数ｘが高々１次である、ｘの多項式で展開した行列の和であらわせる。
すなわち、式２のようにｘの１次の多項式で展開した行列の和であらわせる。
Ｂｔｓ＝ ｘＰｔｓ＋Ｒｔｓ （式２）
この余因子行列Ｂｔｓの式２を式１に代入する。
（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）（ｘＰｔｓ＋Ｒｔｓ）＝ΔｘＥｐｓ （式３）
ここで、Δｘは、
Δｘ＝（Ａ１１－ｘ）（Ａ２２－ｘ）－Ａ２１Ａ１２
＝ｘ２－（Ａ１１＋Ａ２２）ｘ＋（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２） （式４）
この式４を式３に代入した下式がｘの恒等式になる条件を求める。
（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）（ｘＰｔｓ＋Ｒｔｓ）＝（ｘ２－（Ａ１１＋Ａ２２）ｘ＋（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２））Ｅｐｓ
上式の左右の辺で、ｘの２乗の項と１乗の項と係数項とが、各々等しい条件を求める。
（ｘの２乗の項） －Ｐｐｓ＝Ｅｐｓ （式５）
（ｘの１乗の項） －Ｒｐｓ＋ＡｐｔＰｔｓ＝－（Ａ１１＋Ａ２２）Ｅｐｓ （式６）
（係数項） ＡｐｔＲｔｓ＝（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２）Ｅｐｓ （式７）
Ａ×｛（Ａ×式５）＋式６｝＋式７を計算する。
すると、その式の左辺は０行列になり、
右辺は、行列式Δｘの
（１）ｘの２乗の項の係数にＡの２乗を掛け算し、
（２）ｘの１乗の項の係数にＡを掛け算し、
（３）係数項は単位行列を掛けて、
それらの行列の項の和になります。
すなわち、
Δｘ＝ｄｅｔ［Ａｐｔ－ｘＥｐｔ］＝０
の方程式のｘを行列Ａｐｔに置き換え、係数項を単位行列Ｅｐｔの係数倍に置き換えた形の式になり、その式は、ＡｐｔＡｔｓ－（Ａ１１＋Ａ２２）Ａｐｓ＋（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２）Ｅｐｓ＝０ｐｓ
になります。
（証明おわり）
このケイリー・ハミルトンの定理は、回転行列Ａｐｔの場合には以下の式になります。
【ｎ行ｎ列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理の証明のページへリンク】
リンク：
南海先生による、ｎ行ｎ列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理の証明
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次
つまり、
行列式はΔ＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２≡Σｍｐ(εｍｐＡｍ１Ａｐ２)
＝ε１２Ａ１１Ａ２２＋ε２１Ａ２１Ａ１２
＝Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２です。
この行列式の計算式では、アインシュタインの縮約記法によって、εｍｐのｍは、あらゆる値のｍ（及びあらゆる値のｐ）で式の和をとります。
一方、余因子の式のＱｍ１＝εｍｐＡｐ２のεｍｐのｍは、Ｑｍ１のｍに対応する１つのｍに限定されていて、
εｍｐのｐのみがあらゆる値の場合について式の和をとります。
例えば、余因子の１つのＱ１１＝ε１ｐＡｐ２≡Σｐ(ε１ｐＡｐ２）
＝（ε１１Ａ１２＋ε１２Ａ２２）＝Ａ２２です。
この値Ａ２２は、行列式の和を構成する項のうち、Ａ１１が掛かった項、すなわち、項Ａ１１Ａ２２のＡ１１に掛かる値です。
他のＱｔｓも、同様に、行列式Δの和を構成する項のうち、Ａｔｓが掛かった項における、Ａｔｓに掛かる値です。
この余因子の行列Ｑにおける列ベクトルＱｔ１＝εｔｐＡｐ２は、列ベクトルＡｐ２に垂直なベクトルです。
余因子の行列の要素Ｑｔ１は、行列Ａの行列式のうち、Ａｔ１に掛かる係数です。
そして、この余因子の行列Ｑには、その列ベクトルと、行列Ａの列ベクトルの内積を計算すると、
行の番号同士が一致すれば、内積の結果がΔになり、行の番号が一致しなければ、内積が０になるという大切な性質があります。
Ａｔ１・Ｑｔ１＝Ａｔ１・εｔｐＡｐ２＝εｔｐＡｔ１Ａｐ２＝Δ
Ａｔ２・Ｑｔ１＝Ａｔ２・εｔｐＡｐ２＝εｔｐＡｔ２Ａｐ２＝０
Ａｔ１・Ｑｔ２＝Ａｔ１・εｐｔＡｐ１＝εｐｔＡｐ１Ａｔ１＝０
Ａｔ２・Ｑｔ２＝Ａｔ２・εｐｔＡｐ１＝εｐｔＡｐ１Ａｔ２＝Δ
すなわち、行列Ａのｍ列目の列ベクトルと、行列Ｑのｐ列目の列ベクトルとの内積の結果を、ｍ行ｐ列の行列にまとめてあらわすと、以下の式になる。
Ａｔｍ・Ｑｔｐ＝Δ・Ｅｍｐ
この関係がある理由は、
Ｑｔ１は、行列Ａの行列式の各項から、Ａｔ１に掛かる係数を抽出した結果だからです。
その各係数Ｑｔ１に各Ａｔ１を掛け合わせて、全てのｔの場合についての和を取れば行列式の値そのものを計算する式に戻ります。
行列式の計算では、２つの列ベクトルが等しければ、その行列式は０になります。
そのため、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせるということを行なうと、Ａｔ２の列ベクトルが２行ある行列の行列式を計算することに等しくなり、その計算結果は、
Ａｔ２・Ｑｔ１＝０
になります。
（このため、余因子の行列の列ベクトルＱｔ１は、元の行列の余りのベクトルＡｔ２に垂直なベクトルです）
このように作られた列ベクトルで構成される行列Ｑｔｓを、行列の掛け算の計算規則の中で便利に使えるように、その行と列を入れ替えて定義したのが余因子行列Ｂｓｔです。
行列の掛け算の計算規則では、ベクトルの内積は行ベクトルと列ベクトルの積であらわされるから列を行と入れ替えたのです。
余因子行列Ｂｓｔは、余因子の行列Ｑｔｓの行と列を入れ替えた行列で、
Ｂ１１＝Ａ２２
Ｂ１２＝－Ａ１２
Ｂ２１＝－Ａ２１
Ｂ２２＝Ａ１１
です。
こうして計算した余因子行列Ｂｓｔを行列Ａｍｐに掛け算すると、
行列Ａｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ１ｍＡｍ１＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２＝Δ
Ｂ１ｍＡｍ２＝εｍｐＡｍ２Ａｐ２＝０
上の計算は２つの列ベクトルが同じ行列の行列式を計算することになるので、値が０になる。
Ｂ２ｐＡｐ１＝εｍｐＡｍ１Ａｐ１＝０
Ｂ２ｐＡｐ２＝εｍｐＡｍ１Ａｐ２＝Δ
∴
ＢｓｔＡｔｐ＝Δ・Ｅｓｐ
このＥｓｐは、単位行列。
３行３列の行列Ａｍｐに対する行列式Δは、
エディントンの行列式の計算記号εｍｐｓを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
Δ＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２Ａｓ３
で計算しましたが、
その行列Ａｍｐに対する余因子行列Ｂｓｔは、
その積の要素の１つを空欄にした以下の式で定義します。
Ｂ１ｍ＝εｍｐｓＡｐ２Ａｓ３ ・・・行列式ΔのＡｍ１を空欄にした。
Ｂ２ｐ＝εｍｐｓＡm１Ａｓ３ ・・・行列式ΔのＡｐ２を空欄にした。
Ｂ３ｓ＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２ ・・・行列式ΔのＡｓ３を空欄にした。
この計算に利用する行列（正しくはテンソルと言う）
εｍｐｒ
は、
ε１２３＝ε２３１＝ε３１２＝１
ε２１３＝ε３２１＝ε１３２＝－１
であり、それ以外の
εｍｐｒ＝０
です。
こうして計算した余因子行列Ｂｓｔを行列Ａｍｐに掛け算すると、
３行３列の行列Ａｍｐの行列式＝Δとすると、
Ｂ１ｍＡｍ１＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２Ａｓ３＝Δ
Ｂ１ｍＡｍ２＝εｍｐｓＡｍ２Ａｐ２Ａｓ３＝０
・・・
結局、
ＢｓｍＡｍｐ＝Δ・Ｅｓｐ
このＥｓｐは、単位行列。
（３）
このように、余因子行列Ｂｓｍは、行列Ａｍｐと掛け算することで、Δ・Ｅｓｐ
となる行列です。
ＢｓｍＡｍｐ＝Δ・Ｅｓｐ
【余因子行列の可換性】
また、余因子行列Ｂｓｍは、
ＡｐｓＢｓｍ＝Δ・Ｅｐｍ
（証明開始）
余因子の行列Ｑｍｓにおいて、行列Ａｔｓのｓ列目の列ベクトルと行列Ｑｍｓのｐ列目の列ベクトルとの内積について、
Ａｔｓ・Ｑｔｐ＝Δ・Ｅｓｐ
が成り立ちましたが、それは行列式の計算に帰着したためでした。
一方、行列式は、行と列を入れ替えても同じ結果になりますので、
行ベクトル同士の内積も行列式の計算に帰着し、
行列Ａのｍ行目の行ベクトルＡｍｔと行列Ｑのｐ行目の行ベクトルＱｐｔとの内積について、以下の式が成り立ちます。
Ａｍｔ・Ｑｐｔ＝Δ・Ｅｍｐ
この関係によって、以下の式が成り立ちます。
ＡｍｔＢｔｐ＝Δ・Ｅｍｐ
（証明おわり）
なお、上の式は、「行列Ａの行列式Δが０の場合は、行列Ａは、余因子行列Ｂの各列ベクトルを０ベクトルに変換する」ということも表している。その場合は、その行列Ａを行基本変形して作った行列も、同じ列ベクトルを０ベクトルに変換する。
しかし、行列Ａが、
１，１，１
０，０，０
０，０，０
のような行列の場合、
その余因子行列Ｂは、全ての成分が０である０行列になる。
その行列Ａは、縦ベクトル（１，－１，０）や縦ベクトル（１，０，ー１）を０ベクトルに変換する。
しかし、その縦ベクトルを余因子行列Ｂの各列ベクトル（０ベクトル）の合成によって作ることができない。そのように、行列Ａによって０ベクトルに変換される縦ベクトルのうち、余因子行列Ｂの縦ベクトルから作れないベクトルもあるので注意すること。
【余因子行列の注意点】
余因子行列は、大学生も間違え易い、以下の問題点がありますので、ここで注意点を指摘しておきます。
余因子行列Ｂ＝ｔ（余因子の行列Ｑ）
Ｑの左上の添え字ｔは「転置行列」＝行と列を入れ替えた行列、をあらわす記号です。
Ｂｓｔ＝ｔＱｓｔ＝Ｑｔｓ
Ｂ１ｍ＝Ｑｍ１＝εｍｐｓＡｐ２Ａｓ３
Ｂ２ｐ＝Ｑｐ２＝εｍｐｓＡｍ１Ａｓ３
Ｂ３ｓ＝Ｑｓ３＝εｍｐｓＡｍ１Ａｐ２
余因子Ｑｔｓは、もとの行列式よりも１つ次元の低い行列式で計算されています。
【３次元ベクトルの外積】
この余因子の行列Ｑにおける列ベクトルＱｍ１＝εｍｐｓＡｐ２Ａｓ３は、列ベクトルＡｐ２と列ベクトルＡｓ３との張る平面に垂直なベクトルです。この列ベクトルＱｍ１は、列ベクトルＡｐ２と列ベクトルＡｓ３との外積と呼ばれています。そしてその２つのベクトルが作る平行四辺形の面積の値の長さを持ちます。
そして、この余因子の行列Ｑには、その列ベクトルと、行列Ａの列ベクトルの内積を計算すると、
行の番号同士が一致すれば、内積の結果がΔになり、行の番号が一致しなければ、内積が０になるという大切な性質があります。
Ａｔ１・Ｑｔ１＝Ａｔ１・εｔｐｓＡｐ２Ａｓ３＝εｔｐｓＡｔ１Ａｐ２Ａｓ３＝Δ
Ａｔ２・Ｑｔ１＝Ａｔ２・εｔｐｓＡｐ２Ａｓ３＝εｔｐｓＡｔ２Ａｐ２Ａｓ３＝０
Ａｔ３・Ｑｔ１＝Ａｔ３・εｔｐｓＡｐ２Ａｓ３＝εｔｐｓＡｔ３Ａｐ２Ａｓ３＝０
すなわち、この各ベクトル同士の内積の結果を行列の形にまとめると、
Ａｔｐ・Ｑｔｍ＝ΔＥｐｍ
という関係があります。
行ベクトル同士の内積でも同じ関係があります。
Ａｐｔ・Ｑｍｔ＝ΔＥｐｍ
（Ａｔ１・Ｑｔ１＝Δという関係がある理由）
Ｑｔ１は、行列Ａの行列式の各項から、Ａｔ１に掛かる係数を集めて、その係数の和を求めた結果だからです。
その各係数Ｑｔ１毎に各Ａｔ１を掛け合わせて、全てのｔの場合についての和を取れば行列式の値そのものを計算する式に戻ります。
（Ａｔ２・Ｑｔ１＝０という関係がある理由）
また、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせれば、それは、行列式の計算において、Ａｔ１の列ベクトルの位置にＡｔ２の列ベクトルを置いて行列式を計算することに等しくなります。
行列式の計算では、２つの列ベクトルが等しければ、その行列式は０になります。
そのため、Ａｔ１に掛かる係数Ｑｔ１にＡｔ２を掛け合わせるということを行なうと、Ａｔ２の列ベクトルが２行ある行列の行列式を計算することに等しくなり、その計算結果は、
Ａｔ２・Ｑｔ１＝０
になります。
（余因子行列Ｂｓｔが余因子の行列Ｑｔｓの行と列を入れ替えた理由）
このように作られた列ベクトルで構成される行列Ｑｔｓを、行列の掛け算の計算規則の中で便利に使えるように、その行と列を入れ替えて定義したのが余因子行列Ｂｓｔです。
行列の掛け算の計算規則では、ベクトルの内積は行ベクトルと列ベクトルの積であらわされるから列を行と入れ替えたのです。
【２行２列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理の証明】
２行２列の行列Ａｍｐの余因子行列Ｂｓｔは、
Ｂ１１＝Ａ２２
Ｂ１２＝－Ａ１２
Ｂ２１＝－Ａ２１
Ｂ２２＝Ａ１１
でしたので、
Ａｍｐ＋Ｂｍｐ＝（Ａ１１＋Ａ２２）Ｅｍｐ
両辺にＡｐｔを（右から）掛け算すると、
ＡｍｐＡｐｔ＋ＢｍｐＡｐｔ＝（Ａ１１＋Ａ２２）ＥｍｐＡｐｔ
ＡｍｐＡｐｔ＋Δ・Ｅｍｔ＝（Ａ１１＋Ａ２２）Ａｍｔ
この証明過程を覚えるとケイリー・ハミルトンの定理が覚え易くなると思います。
【ケイリー・ハミルトンの定理の（正規な）証明】
上記の証明は、偶然に証明ができたような証明であって、確実な礎がある解答ではなかった。そのため、以下では、問題の本質に正面から迫る方法でケイリー・ハミルトンの定理を証明する。
先ず、ケイリー・ハミルトンの定理は、行列式
Δｘ＝ｄｅｔ［Ａｐｔ－ｘＥｐｔ］＝０
の方程式のｘを行列Ａｐｔに置き換え、係数項を単位行列Ｅｐｔの係数倍に置き換えた式が成り立つという定理です。
この、「置き換え」がされる必然性が証明されなければ、ケイリー・ハミルトンの定理を証明したことにはならないと考える。
上の行列式の方程式は、
Δｘ＝（Ａ１１－ｘ） （Ａ２２－ｘ）－Ａ２１Ａ１２＝０
ケイリー・ハミルトンの定理は、
（Ａ１１Ｅｐｔ－Ａｐｔ）（Ａ２２Ｅｔｓ－Ａｔｓ）－Ａ２１Ａ１２Ｅｐｓ＝０・Ｅｐｓ
です。
これを証明するために、行列（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）の余因子行列Ｂｐｔを考える。この場合に、以下の式１が成り立つ。
（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）Ｂｔｓ＝ΔｘＥｐｓ （式１）
この余因子行列Ｂｐｔは、その要素である余因子が元の行列の要素の１次式により計算される。そのため、余因子行列は、変数ｘが高々１次である、ｘの多項式で展開した行列の和であらわせる。
すなわち、式２のようにｘの１次の多項式で展開した行列の和であらわせる。
Ｂｔｓ＝ ｘＰｔｓ＋Ｒｔｓ （式２）
この余因子行列Ｂｔｓの式２を式１に代入する。
（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）（ｘＰｔｓ＋Ｒｔｓ）＝ΔｘＥｐｓ （式３）
ここで、Δｘは、
Δｘ＝（Ａ１１－ｘ）（Ａ２２－ｘ）－Ａ２１Ａ１２
＝ｘ２－（Ａ１１＋Ａ２２）ｘ＋（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２） （式４）
この式４を式３に代入した下式がｘの恒等式になる条件を求める。
（Ａｐｔ－ｘＥｐｔ）（ｘＰｔｓ＋Ｒｔｓ）＝（ｘ２－（Ａ１１＋Ａ２２）ｘ＋（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２））Ｅｐｓ
上式の左右の辺で、ｘの２乗の項と１乗の項と係数項とが、各々等しい条件を求める。
（ｘの２乗の項） －Ｐｐｓ＝Ｅｐｓ （式５）
（ｘの１乗の項） －Ｒｐｓ＋ＡｐｔＰｔｓ＝－（Ａ１１＋Ａ２２）Ｅｐｓ （式６）
（係数項） ＡｐｔＲｔｓ＝（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２）Ｅｐｓ （式７）
Ａ×｛（Ａ×式５）＋式６｝＋式７を計算する。
すると、その式の左辺は０行列になり、
右辺は、行列式Δｘの
（１）ｘの２乗の項の係数にＡの２乗を掛け算し、
（２）ｘの１乗の項の係数にＡを掛け算し、
（３）係数項は単位行列を掛けて、
それらの行列の項の和になります。
すなわち、
Δｘ＝ｄｅｔ［Ａｐｔ－ｘＥｐｔ］＝０
の方程式のｘを行列Ａｐｔに置き換え、係数項を単位行列Ｅｐｔの係数倍に置き換えた形の式になり、その式は、ＡｐｔＡｔｓ－（Ａ１１＋Ａ２２）Ａｐｓ＋（Ａ１１Ａ２２－Ａ２１Ａ１２）Ｅｐｓ＝０ｐｓ
になります。
（証明おわり）
このケイリー・ハミルトンの定理は、回転行列Ａｐｔの場合には以下の式になります。
【ｎ行ｎ列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理の証明のページへリンク】
リンク：
南海先生による、ｎ行ｎ列の行列に関するケイリー・ハミルトンの定理の証明
追加講：三角形の面積と行列式
高校数学の目次
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