ベクトルの座標を回転させる行列の固有値と固有ベクトル

 
 
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
座標値（ｘ，ｙ）であらわされるベクトルを、左回りに角度θ回転させて、座標値（ｘ’，ｙ’）であらわされるベクトルにする変換をあらわすと以下の式になります。
ｘ’＝（ｃｏｓθ）ｘ－（ｓｉｎθ）ｙ
ｙ’＝（ｓｉｎθ）ｘ＋（ｃｏｓθ）ｙ
この変換は、以下のように行列Ａ_ｓｐであらわされています。
Ｘ’_ｓ＝Ａ_ｓｐＸ_ｐ 
ただし、この表記方法はアインシュタインの行列の積の表記方法です。通常の行列表現は以下のものです。

そして、ベクトル及び行列の各要素は以下の通りです。
ｘ’_１＝ｘ’
ｘ’_２＝ｙ’
ｘ_１＝ｘ
ｘ_２＝ｙ
Ａ_１１＝ｃｏｓθ
Ａ_１２＝－ｓｉｎθ
Ａ_２１＝ｓｉｎθ
Ａ_２２＝ｃｏｓθ
この行列Ａ_ｓｐは回転変換をあらわしますが、この行列は、あるベクトル（固有ベクトル）をλ倍にする変換でもある。
λは、以下の行列式を０にするλ（それを固有値と呼ぶ）を計算することで求められます。
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
ここで、行列Ｅ_ｓｐは単位行列です。
また、そのλの解（固有値）α、β毎に、
（１）λの解α（＝固有値）については、
行列（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ_ｐｔを計算し、その余因子行列Ｃ_ｐｔの列だけを取り出した列ベクトルＣ_ｐ１（又はＣ_ｐ２）が、
（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）Ｃ_ｐ１＝０_ｓ
（０_ｓは０ベクトル）
Ａ_ｓｐＣ_ｐ１＝α・Ｅ_ｓｐＣ_ｐ１＝α・Ｃ_ｓ１
を満足する。Ｃ_ｐ１がα倍になる。
Ｃ_ｐ１が固有ベクトルである。
Ｃ_ｐ２もα倍になる固有ベクトルであるが、Ｃ_ｐ１に平行なベクトルであるので、Ｃ_ｐ１を求めるのもＣ_ｐ２を求めるのも同じことである。

（２）λの解β（＝固有値）については、
行列（Ａ_ｓｐ－βＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ’_ｐｔを計算し、その余因子行列Ｃ’_ｐｔの列だけを取り出した列ベクトルＣ’_ｐ１（又はＣ’_ｐ２）が、
Ａ_ｓｐＣ’_ｐ１＝β・Ｃ’_ｓ１
を満足する。
Ｃ’_ｐ１（又はＣ’_ｐ２）が固有ベクトルである。

（３）固有値を具体的に求める
ε_ｓｐ（Ａ_ｓ１－λＥ_ｓ１）（Ａ_ｐ２－λＥ_ｐ２）＝０
（ｃｏｓθ－λ）（ｃｏｓθ－λ）＋（ｓｉｎθ）（ｓｉｎθ）＝０
λ^２－２（ｃｏｓθ）λ＋１＝０
（λ－ｃｏｓθ）^２＝－ｓｉｎ^２θ
（λ－ｃｏｓθ）＝±ｉ・ｓｉｎθ
λ＝ｃｏｓθ±ｉ・ｓｉｎθ
α＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ
β＝ｃｏｓθ－ｉ・ｓｉｎθ

（４）この固有値αに対する行列（Ａ_ｓｐ－αＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ_ｐｔを計算する。
Ａ_１１－αＥ_１１＝－ｉ・ｓｉｎθ
Ａ_１２－αＥ_１２＝－ｓｉｎθ
Ａ_２１－αＥ_２１＝ｓｉｎθ
Ａ_２２－αＥ_２２＝－ｉ・ｓｉｎθ
余因子行列Ｃ_ｐｔは、
Ｃ_１１＝－ｉ・ｓｉｎθ
Ｃ_１２＝ｓｉｎθ
Ｃ_２１＝－ｓｉｎθ
Ｃ_２２＝－ｉ・ｓｉｎθ
よって、固有ベクトルは、
（－ｉ・ｓｉｎθ，　－ｓｉｎθ）
 ｓｉｎθ≠０のとき、
－ｓｉｎθで割り算して、もっと簡単にした固有ベクトルは、
（ｉ，　１）
（注意）ｓｉｎθ＝０の場合、この割り算計算は（０で割り算するので）無効です。ｓｉｎθ＝０の場合、すなわち、回転角度が０の場合の行列Ａ_ｓｐの固有ベクトルが（ｉ，　１）であるかかどうかが定まりません。実際、回転角度が０の場合の行列Ａ_ｓｐは単位行列Ｅ_ｓｐになりますが、その固有ベクトルは、あらゆる方向のベクトル全てが固有ベクトルになります。（注意おわり）


この固有ベクトルに左から行列Ａ_ｓｐを掛け算すると、
（ｉ・ｃｏｓθ－ｓｉｎθ，　ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）
＝（ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）（ｉ，　１）＝α（ｉ，　１）

 行列Ａ_ｓｐは、実数のベクトルだけを考えると回転変換しかしないのに、複素数で考えると、固有ベクトルを固有値倍に変換する。

（５）固有値βに対する行列（Ａ_ｓｐ－βＥ_ｓｐ）の余因子行列Ｃ_ｐｔを計算する。
Ａ_１１－βＥ_１１＝ｉ・ｓｉｎθ
Ａ_１２－βＥ_１２＝－ｓｉｎθ
Ａ_２１－βＥ_２１＝ｓｉｎθ
Ａ_２２－βＥ_２２＝ｉ・ｓｉｎθ
余因子行列Ｃ_ｐｔは、
Ｃ_１１＝ｉ・ｓｉｎθ
Ｃ_１２＝ｓｉｎθ
Ｃ_２１＝－ｓｉｎθ
Ｃ_２２＝ｉ・ｓｉｎθ
よって、固有ベクトルは、
（ｉ・ｓｉｎθ，　－ｓｉｎθ）
ｓｉｎθ≠０のとき、
ｓｉｎθで割り算して、もっと簡単にした固有ベクトルは、
（ｉ，　－１）
この固有ベクトルに左から行列Ａ_ｓｐを掛け算すると、
（ｉ・ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，　ｉ・ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）
＝（－ｉ・ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）（ｉ，　－１）＝β（ｉ，　－１）

 このように、固有ベクトルを固有値倍に変換する。




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