楕円と円の接点

「大学への数学ⅢＣ」の勉強

【研究問題】
座標原点を中心にする楕円

と、円Ａ

とが接する接点Ｐにおける接線を、 
接点Ｐから円Ａの中心に向かう単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）に垂直な直線の式、

であらわされるものとした場合に、
（１）その接線と楕円の中心の距離ｍの値を求めよ。
（２）円Ａの中心の座標Ａ（ｘ_１，ｙ_１）の値をｘ_ｃ，ｙ_ｃ，ｍ，ｒであらわす式を求めよ。

（解答）
以下では、この問題を、単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）の値が先に分かっている場合から始めて解く。

楕円

に接する直線は、単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）に垂直な直線であり、接点：

での接線の式は、楕円の接線の公式により、

である。
この接線の式が式３と等しいとして、以下の式４を導く。

式４の座標値を式３に代入して以下の計算をすることで式５が得られる。

式５により、楕円の中心と直線との距離ｍをｘ_ｃとｙ_ｃから計算することができる。
ｍの値は、正の値と負の値との２つです。
式３のｍが、この式５で得られる。

円Ａの中心の座標Ａ（ｘ_１，ｙ_１）の値は以下の式であらわせる。
 
このように、最初に、楕円への接線に垂直な単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）がわかれば、他のパラメータが簡単に計算できる。

　しかし、他のパラメータから、ｘ_ｃ，ｙ_ｃを計算しようとすると簡単ではありません。
例えば、ｘ_ｃを他のパラメータから計算する式を、以下で求めてみます。
式６ａを変形する。

ｍに式５を代入してｍを消去する。

単位ベクトルＣの成分の関係式

を用いて、ｙ_ｃをｘ_ｃであらわす。

この式はｘ_ｃに関する４次方程式である。
すなわち、ｘ_ｃを他のパラメータから計算しようとすると、４次方程式の解を求める問題に帰着する。
この４次方程式の解は簡単には解けない。その解を得るには、ＥＸＣＥＬ等を利用して近似解を計算するしかない。
よって、ｘ_ｃを他のパラメータから計算する問題は入学試験などの試験には出題されない。
（たまたま簡単に解ける４次方程式になる場合だけが試験に出題され得るだろう。）

リンク： 
高校数学の目次