入試問題：図形の長さの比の問題

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【問い】
以下の図の原点ＯとＡ（１，０）とＢ（０，１）に対して点Ｐが、以下の関係の位置にある。
ＯＰ：ＡＰ：ＢＰ＝１：ａ：ｂ
とする。 ここで、ａ≧０，ｂ≧０，である。

このとき、P点が任意の位置に動くとき、aとbの取りうる値(a,b)の範囲をa,b 座標平面であらわせ。

【解答の方針】
　この問題は、上図のようにＰ点の座標をＰ（Ｐｘ，Ｐｙ）として、その点Ｐの座標をａ，ｂであらわす方程式を立てて計算します。

【解答】
（１）
ＯＰ：ＯＡ＝１：ａの方程式：

①’に②を代入して変形する。

この式③でＰｘをａとＯＰ＝ｐであらわせる。
（２）
OP：OB＝１：ｂの方程式：
同様にして、

この式⑤でPyをａとｐであらわせる。
（３）
式②に式③と式⑤を代入してＰｘとＰｙを消去する。

式⑥からｐの解をａとｂの関数であらわすことができる。
ｐの実数解があれば、ＰｘとＰｙも式③と⑤から求められる。
（４）
式⑥がｐの実数解を持つ条件は、以下の判別式を満足することである。

この判別式のａとｂの条件を（ａ，ｂ）座標平面内の範囲であらわすと、以下の図の斜線の範囲になる。

上の図で、ａとｂが正の領域が解の条件（ａ≧０，ｂ≧０）の範囲です。
（５）
　問題となる点は、この範囲内の（ａ，ｂ）であれば必ずＰ（Ｐｘ，Ｐｙ）が存在するかということです。
　その問題に対しては、この（ａ，ｂ）の範囲内ならば、式⑥で実数のｐの解が求められる。その実数解ｐを使えば、式③と⑤でＰｘとＰｙが求められるので、必ずＰ（Ｐｘ，Ｐｙ）が存在する。
（解答おわり）

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