美しい数学：解が存在する条件の計算

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【解が存在する条件の計算】
（注意点）
　数学の方程式の解が存在するための条件を求める問題は、以下の形の式に変形して解きます。

　この式の解が存在するための条件は：

です。
　ここで、露わに２乗の形であらわした式は正又は０であることがわかるので扱いやすいです。
　しかし、露わにはわからないが、恒等的に正又は０である式があります。そういう式を早期に発見する注意が必要です。そういう式は限られていますので、どの式がその条件を満足しているか覚えてしまいましょう。
　以下で、ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）が正又は０である式の場合を示します。

　ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）が恒等的に正又は０であることがわかれば、問題を解く主な注意を残りの項ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）に向け、その項を因数分解することで、方程式の解の存在条件の式を求めます。

　上の式の項ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）は、ｈ（ａ^２，ｂ^２，ｃ^２）による三角形の面積の二乗の式（にマイナスを掛け算した式）が変形された式ですので、その場合の公式として覚えていた因数分解のパターンを思い出して書くことで瞬時に因数分解できました。
　以下に、より具体的に変形された式ｈ（ｘ，ｙ）の場合の因数分解の例を示します。

　こうして、式ｇ（ｘ，ｙ）が恒等的に正又は０である式であることに早期に気付いて、問題を解く注意を式ｈ（ｘ，ｙ）を因数分解する方に向けます。そして、ｈ（ｘ，ｙ）を因数分解して、方程式の解が存在する条件を求める計算を進めます。

（参考）
　以下に、ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）の因数分解の計算を示します。 

この因数分解は、ｘ，ｙ，ｚを入れ替えた形の他の２つの解もあります。
　上の式でｘ，ｙ，ｚの値がマイナスの場合には、その値の平方根は複素数になります。

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