２つの対角行列とある行列の積の交換の定理

 
 

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

以下のように、１つ目の対角行列Ｂと、ある行列Ａの積の行列と、積が交換された、その行列Ａと２つ目の対角行列Ｃの積の行列が等しいという条件が与えられているとする。

この式を計算すると以下の式になる。

この場合に、これらの行列の要素が以下の様に特定の値に制限される。
この関係を、仮に、
「２つの対角行列とある行列の積の交換の定理」
と名づける。
　行列の問題を解く際に、この定理の条件を与える式が得られたら、その式の解は、以下のように解けることを覚えておくと便利だと思う。

（解の解説）
上の行列の方程式から、以下の関係が得られる。

この解１以外の解については、以下のように、式１から式４により変数が等しくされる関係を図に書いて考える。

（解８）行列Ａが０行列であって、対角行列ＢとＣは任意の行列であるという自明な解もある。

　この問題では、以上のように、８個の場合分けされた解が得られる。
　これらの解の特徴は、行列Ａが自由に設定できる場合は（解１）の場合だけで、その条件は、行列Ｂ＝Ｃ＝単位行列の定数倍のときである。
　行列Ｂ＝Ｃ＝単位行列の定数倍という条件が無い場合には、行列Ａの少なくとも２つの要素が０になる。

（補足）
この問題の一部として、以下の場合が重要です。
すなわち、以下のように、単位行列の定数倍以外の対角行列Ｔと交換可能な行列Ａを考える。
ＴＡ＝ＡＴ

この行列の解は、上の解７であって、次の式のように行列Ａも対角行列になります。

 このように、単位行列の倍数以外の対角行列と積が交換可能な行列は、対角行列のみです。
　このことは、積が交換可能な行列は、その固有ベクトル（の方向）が同じであるという原理に結びついています。単位行列の倍数以外の対角行列の固有ベクトルは（１，０）と（０，１）だからです。
　ちなみに、２行２列の行列に限っては、行列Ｔと交換可能な行列は、単位行列Ｅを用いて、ｃＴ＋ｄＥであらわせます。Ｔが対角行列の場合、ｃＴ＋ｄＥは対角行列になるから、対角行列Ｔと交換可能な行列は対角行列であると言えます。しかし、その話は２行２列の行列に限って成り立つ話です。一方、交換可能な行列は固有ベクトルが同じという原理は、ｎ行ｎ列の行列全てで成り立ちます。

 
 

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