勉強しよう数学3C: ２つの行列の２つの積から元の行列を逆算する

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
（１）対角行列Ｔと行列の積が交換可能な行列は対角行列です。
（２）行列Ａと行列Ｂの積ＡＢとＢＡとは、同じ固有値を共有する行列です。
（３）また、行列式が０では無い行列で、その固有値の値が重解を持たない行列Ａは、その固有値毎に固有ベクトルを計算して、
その固有ベクトルを並べた行列Ｐ_ｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｃ_ｕｋに変換できます。
Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋ＝Ｃ_ｕｋ　　　←Ａ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ＝Ｐ_ｓｕＣ_ｕｋＸ_ｋ

また、行列Ｐを用いてそのようにお互いに変換できる行列同士は、同じ固有値を持ちます。
これらの原理を利用して、以下の問題を解くことができます。

【問題】
行列Ａと行列Ｂがあるとき、
行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄとが与えられた場合に、元の行列ＡとＢを求める問題を考えます。
この問題では、行列は全て２行２列の行列であるものとします。

（条件１）この行列ＡとＢは、その行列式が０では無く逆行列が存在するものとします。

この行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは以下のように、行列Ａ（あるいは行列Ｂ）を用いて互いに変換できます。

行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄは、行列Ａを用いて互いに変換できるので、同じ固有値を持ちます。
　行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄは固有値が共通であるので、この行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄのバラエティを記述するパラメータの数は、行列Ａの４つのパラメータと行列Ｂの４つのパラメータの合計の８よりも２つパラメータが減って、６つのパラメータでＣとＤとのあらゆる場合が記述できます。
　パラメータが減ってしまっているので、行列ＣとＤだけでは情報が不足しているので、それだけでは、行列ＡとＢを完全に再現することはできません。行列ＣとＤのみからでは、行列ＡとＢがパラメータの自由度２で不定になります。
　以下では、その不定性があっても良いものとして、行列ＡとＢを可能な限り逆算してみます。

以下の行列式を計算することで、行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄとが共有する固有値と、その固有値を持つ対角行列Ｔを計算することができます。

そして、以下のように、その固有値を持つ対角行列Ｔを行列Ｃに変換する行列Ｐを計算、対角行列Ｔを行列Ｄに変換する行列Ｑを計算します。

以下で、式４から行列Ａを与える式６を計算し、式５から行列Ａを与える式７を計算し、式６と式７を連立して行列Ａを消去する計算をします。

ここで、行列Ｑ^－１ＢＰ＝Ｖとします。
この行列Ｖと対角行列Ｔとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Ｔと積が交換可能な行列Ｖは対角行列になります。

上式８のように、行列Ｂが対角行列Ｖを用いてあらわせます。

同様にして、式４から行列Ｂを与える式９を計算し、式５から行列Ｂを与える式１０を計算し、式９と式１０を連立して行列Ｂを消去する計算をします。

ここで、行列Ｐ^－１ＡＱ＝Ｗとします。
この行列Ｗと対角行列Ｔとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Ｔと積が交換可能な行列Ｗは対角行列になります。
そして、以下の式１１のように、行列Ａが対角行列Ｗを用いてあらわせます。

この式８と式１１を用いて行列の積ＡＢ＝Ｃを計算すると、以下の関係式１２を得ます。

すなわち、式１２のように、対角行列Ｔは対角行列ＷとＶの積です。また、対角行列同士の積は交換可能です。
ここで、行列の積ＢＡ＝Ｄを計算すると、式５の関係が満足されています。
　対角行列ＶとＷには、それ以上の制限条件がありません。
すなわち、任意の対角行列Ｖを自由に定めて、式１２を満足するように対角行列Ｗを定めれば、それだけで、ＡＢ＝Ｃを与える式４と、ＢＡ＝Ｄを与える式５が満足されます。

（解答）任意な対角行列Ｖと、式１２を満足する対角行列Ｗを用いて、式１１で行列Ａが与えられ、式８で行列Ｂが与えられる。

【検算】
　任意の対角行列Ｖを用いて行列ＡとＢが与えられるということが、本当に間違いなく成り立っているかを確かめるために、以下の検算をします。

検算のために、行列ＡとＢが以下の場合を考える。