座標の回転変換の式のおぼえかた

《目次》行列演算からベクトル解析まで

【解説】

（Ｘ，Ｙ）の座標であらわすベクトルを、左回りに角度θ回転させて、（Ｘ’，Ｙ’）の座標であらわすベクトルにする変換は以下の式になります。

Ｘ’＝（ｃｏｓθ）Ｘ－（ｓｉｎθ）Ｙ
Ｙ’＝（ｓｉｎθ）Ｘ＋（ｃｏｓθ）Ｙ

この変換の式のおぼえ方は、上の図を思い描いて、図から、

Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘであること。
Ｙ座標のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙであること。

を想像する。
次に、それ以外は、係数がｃｏｓθの項を加えることで、回転変換の式ができあがります。

（補足）
三角関数の加法定理を知らないと回転行列が導き出せないという誤解が流通しているようですが、そのようなことはありません。
Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘである。
Ｘ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（ｃｏｓθ）・Ｘである。

そのため、回転行列Ａの要素は、
Ａ_１１＝（ｃｏｓθ）
Ａ_２１＝（ｓｉｎθ）
Ｙ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙである。
Ｙ座標成分のみがあるベクトルを回転させたベクトルのＹ’座標が（ｃｏｓθ）・Ｙである。

そのため、回転行列Ａの要素は、
Ａ_１２＝（－ｓｉｎθ）
Ａ_２２＝（ｃｏｓθ）
こうして、加法定理を使わずに、回転行列の全ての要素がわかります。

この回転行列が全てのベクトルを左回りに角度θ回転することの証明：
（１）全てのベクトルはＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解されます。
（２）そして、その各々のベクトルが同じ角度θ回転します。
（３）そのため、その成分を合成したベクトルもまた角度θ回転します。 
（証明おわり）



リンク：
複素数平面での座標回転を応用した例
追加講：三角形の面積と行列式
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