バウムクーヘン積分と２重積分

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

積分の応用

【解説】
　バウムクーヘン積分により、立体の体積を計算する積分技術が教えられています。
　しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

例えば、以下のようにバウムクーヘン積分の式が与えられることを示す問題が東大の入試問題に出されたことがあるので、バウムクーヘン積分を当たり前の式として使ってはいけないと言う意見がありました。

【問題】
ｆ（ｘ）＝πｘ^２ｓｉｎ（πｘ^２）とする。
ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた図形をｙ軸のまわりに回転させてできる立体の体積Ｖは

で与えられることを示し、この値を求めよ。
（問題おわり）

　バウムクーヘン積分に言及して問題を解いても、そのバウムクーヘン積分を表現する数学の言葉で記述されないので、バウムクーヘン積分の概念を用いた解答が軽視されることもあるらしいです。
　バウムクーヘン積分をあらわす数学の言葉（タブー？）は、
「２重積分」です。

　２重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー（禁じ手）では無く、高校生が一旦２重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
　そのため、以下では、バウムクーヘン積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「２重積分」を使って計算する解答例（このように書けば合格点をもらえると思う）を示します。
　先に例示した東大の入試問題の前半部分に、２重積分を使って解答してみます。

（解答はじめ） 

 　求める立体の断面を上図に示す。ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された１単位を微小領域①とする。

　求める立体は、微小領域①をｙ軸のまわりに１回転して得られる細いドーナツ状の立体ΔＶを集合させた立体である。

細いドーナツ状の立体ΔＶの体積をΔＶとすると、

 ΔＶ＝（２π・ｘ）（ΔｘΔｙ）

である。

　微小領域①を断面に持つ細いドーナツ状の立体ΔＶを縦方向と横方向につないで、その断面がｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた領域を埋めるように集合させる。
その集合の体積Ｖは、
以下の式のように、細いドーナツ状の立体ΔＶの体積を、 一定のｘについてｙ方向に積分した上で、
更にｘ方向に積分する２重積分で計算できる。

  （解答おわり）

（補足）
　上記の式の１行目の式で、一番内側の積分∫(□)dyでの被積分関数(□)は、ｙで積分する場合には定数と扱える。なぜならば、その外側の積分がｘによる積分なので、外側の積分を未だ開始していない時点では、変数ｘの値は変化しないで所定値に留まっているから、ｘは定数と扱ってｙで積分している。そのため、被積分関数(□)＝定数に、変数ｙの積分範囲の長さを掛け算した値を計算して２行目の式が導かれている。

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傘形積分と２重積分

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
積分の応用

【解説】
　傘形積分により、軸の回りに平面図形を回転させた立体の体積を計算する高度な積分技術が教えられています。
　しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

　傘形積分を勉強することはほめられるべきことと考えますが、現実には、その知識が試験問題の解答ではマイナス？になってしまうようです。
　傘形積分に言及して問題を解いても、その傘形積分を表現する数学の言葉が教えられず。傘形積分の手法が数学の言葉で記述されないので、傘形積分の概念を用いた解答が理解されないというのがこのマイナス問題の原因のようです。
　傘形積分をあらわす数学の言葉は、高校生には教えないことにしているタブーの一種と考えられます。
　傘形積分を表現する数学の言葉（タブー？）は、「２重積分」です。

　２重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー（禁じ手）では無く、高校生が一旦２重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
　そのため、以下では、傘形積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「２重積分」を使って計算する解答例（このように書けば合格点をもらえると思う）を示します。

【例題】
　放物線ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘとで囲まれた図形を、直線ｙ＝ｘのまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。

（解答はじめ） 

　求める立体の断面を上図に示す。放物線ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘとで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された１単位を微小領域①とする。

　求める立体は、微小領域①を直線ｙ＝ｘのまわりに１回転して得られる細いドーナツ状の立体（下図）を集合させた立体である。

 　微小領域①を断面に持つ細いドーナツ状の立体を縦方向と横方向につないで、その断面が放物線ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘとで囲まれた領域を埋めるように集合させる。その集合の体積Ｖは、以下の式のように縦方向に積分した結果を更に横方向に積分する式（２重積分の式）であらわせる。

（２重積分とは）
　２重積分とは、１回目の積分変数で計算した後に２回目の積分変数で計算する積分です。すなわち、１回目の積分計算の結果が２回目の積分計算で使われます（以下の最初の式のような形であらわされます）。２重積分では、１回目の積分で幅ｄｘのｙ方向の細長い範囲を積分し、その積分範囲を２回目の積分で変数ｘの微小量のｄｘだけずらしつつ積分することで全領域を過不足無く網羅して積分するようにします。そのために、１回目の変数ｙによる積分計算では、２回目の積分変数ｘを一定値に保って計算します。いわば、以下の最初の式では、括弧の右側の外に付けたｄｘが、括弧の中の式をｘを変えないように金縛りにかけています。

（積分の下限と上限については、高校生の間は、問題を難しくしないために、ｘもｙも、小さい値から大きい値まで積分する場合だけを考える）

次に、括弧の中のｙによる積分を 、ｒ による積分に変換する。
その変換の際に、微小量ｄｙをｄｒに変換する際に掛け算するべき係数を求める必要がある。
　その括弧中でのｙによる積分では、ｘの値を一定の値に固定して積分計算している。そのため、ｒによる積分に変換する場合でも、ｘの値を一定に保ちつつ ｒ で積分する。
　よって、以下で、ｘを一定に保つ条件を守ってｙが微小量ｄｙ変化する場合の、ｘを一定に保つ条件を守って半径 ｒ が変化する微小量ｄｒを計算する。
｜ｒ｜＝｜ａ_ｘｘ＋ａ_ｙｙ｜
であるので、
｜ｄｒ｜＝｜（ａ_ｘｘ＋ａ_ｙ（ｙ＋ｄｙ））－（ａ_ｘｘ＋ａ_ｙｙ）｜
　　　　＝ ｜ａ_ｙ・ｄｙ｜
になる。それゆえ、
｜ｄｙ｜＝｜ｄｒ／ａ_ｙ｜
の関係がある。よって、
 ｜ｄｙ｜は｜ｄｒ／ａ_ｙ｜
に置き換えて積分することができる。

（高校生の間は、問題を難しくしないために、ｒについての積分についても、ｒが小さい値から大きい値まで積分する場合だけを考える。この積分では、ｙが増すとｒが減るので、ｒの積分範囲は、ｙが最大になった場合のｒの値＝０からｒ_２までｒで積分する。）

さらに計算を続けます。

   

（この計算の意味の説明）
　（以下の説明文と図とは解答用紙に書かないでも良いです）
　ここまでの計算は、微小領域①を回転させた立体をｙ方向に積み重ねた立体の体積を計算しています。すなわち、以下のような形の薄い傘の体積を計算しています。

 （傘を軸を中心にバウムクーヘン積分すると、円板の体積になる）

　ここで、２重積分のパラメータ変換によって、
｜ｄｙ｜＝｜ｄｒ／ａ_ｙ｜
という関係があり、ｙによる積分を ｒ による積分に変える、積分のパラメータを変換する場合に出てくる係数（１／ａ_ｙ）が得られます。この係数を用いて、厚さｄｘの傘の体積が、厚さ ｄｘ・｜１／ａ_ｙ｜の円板に等しくなる、という関係があります。
このパラメータを変換する際に現れる係数（１／ａ_ｙ）は傘形積分において非常に重要です。
　２重積分の計算において、この係数を間違えたら、計算手順の点数がもらえないと思います。傘形積分の概念だけを用いて計算する際にも、この係数を間違えたら、計算手順の点数がもらえないと思います。


さらに、計算を続けます。

 （解答おわり）

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行列の交換子の２乗は単位行列に比例

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】 
行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋとは等しくない場合が多いですが、
行列Ａの行列式が０では無い場合は、
Ａ^－１_ｋｍ（Ａ_ｍｕＢ_ｕｓ）＝Ｂ_ｋｓ＝（Ｂ_ｋｍＡ_ｍｕ）Ａ^－１_ｕｓ
が成り立ちます。
このようにある行列ＣとＤが、
行列式が０では無い行列Ｐを介して、
ＰＣ＝ＤＰ
という関係がある場合は、
行列ＣとＤとは同じ固有値を持ち、行列Ｐによって互いに変換されます。
ＰＣＰ^－１＝Ｄ
Ｐ^－１ＤＰ＝Ｃ
そのため、 行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋとは同じ固有値を持ち、行列Ａ^－１_ｋｍによって互いに変換されます。

また 、行列Ａ_ｗｕＢ_ｕｋと行列Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）
です。
この関係は、アインシュタインの縮約記法であらわすと簡単に証明できます。
ｔｒ（ＡＢ）＝Ａ_ｍｕＢ_ｕｍ＝Ｂ_ｕｍＡ_ｍｕ＝ｔｒ（ＢＡ）
です。

更に、行列ＡやＢの行列式が０になる場合でも、
以下のようにして、
行列ＡＢ≡Ｆと、ＢＡ≡Ｇの固有値が等しいといえます。
行列Ｆの固有値λを求める式は、
ｄｅｔ（Ｆ－λＥ）＝０
（Ｆ_１１－λ） （Ｆ_２２－λ）－Ｆ_２１Ｆ_１２＝０
λ^２－ｔｒ（Ｆ）λ＋ｄｅｔ（Ｆ）＝０
ここで、
ｔｒ（Ｆ）＝ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）＝ｔｒ（Ｇ）
ｄｅｔ（Ｆ）＝ｄｅｔ（ＡＢ）＝ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｂ）＝ｄｅｔ（ＢＡ）＝ｄｅｔ（Ｇ）
λ^２－ｔｒ（Ｇ）λ＋ｄｅｔ（Ｇ）＝０
だから、行列ＦとＧは、固有値を求める式が同じになるから固有値が同じです。

この関係があるため、
交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃの対角成分の和は０になります。
ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）－ｔｒ（ＢＡ）＝０
ｔｒ（Ｃ）＝０
このため、２行２列の行列の交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃの場合は、
２行２列の行列のケイリー・ハミルトンの定理によって、 
Ｃ_ｗｕＣ_ｕｋ＋ｄｅｔ（Ｃ）Ｅ_ｗｋ＝ｔｒ（Ｃ）Ｃ_ｗｋ
の関係に、 ｔｒ（Ｃ）＝０を代入すると、
Ｃ_ｗｕＣ_ｕｋ＋ｄｅｔ（Ｃ）Ｅ_ｗｋ＝Ｏ_ｗｋ
Ｃ_ｗｕＣ_ｕｋ＝－ｄｅｔ（Ｃ）Ｅ_ｗｋ
すなわち、 行列の交換子（ＡＢ－ＢＡ）≡Ｃを２乗した行列は単位行列に比例し、詳しくは－ｄｅｔ（Ｃ）倍になります。

【問題】
２行２列の行列ＡとＢが
ＡＢ－ＢＡ＝Ａ
をみたすとき、
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝Ｏ_ｗｋ
が成立することを示せ。

「入試数学伝説の良門１００」 
の問題９６の、３０８ページ「別解」

（解答はじめ）
ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）－ｔｒ（ＢＡ）＝０　（１）
２行２列のケイリー・ハミルトンの定理によって、
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＋ｄｅｔ（Ａ）Ｅ_ｗｋ＝ｔｒ（Ａ）Ａ_ｗｋ
（１）を代入する。
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝－ｄｅｔ（Ａ）Ｅ_ｗｋ　（２）
Ａ（ＡＢ－ＢＡ）＝Ａ（Ａ）
（ＡＢ－ＢＡ）Ａ＝（Ａ）Ａ
（Ａ^２Ｂ－ＡＢＡ）＋（ＡＢＡ－ＢＡ^２）＝２Ａ^２
Ａ^２Ｂ－ＢＡ^２＝２Ａ^２
（２）を代入する。
－ｄｅｔ（Ａ）Ｂ＋ｄｅｔ（Ａ）Ｂ＝２Ａ^２
－ｄｅｔ（Ａ）（Ｂ－Ｂ）＝２Ａ^２
Ｏ_ｗｋ＝２Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ
∴　Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝Ｏ_ｗｋ
（解答おわり）

（別解：地道に計算する方法）
行列の要素を添え字を付けてあらわすと、式がスラスラかける。

（解答はじめ）
（ＡＢ－ＢＡ）_ｗｋ＝Ａ_ｗｋ
Ａ_ｗｕＢ_ｕｋ－Ｂ_ｗｕＡ_ｕｋ＝Ａ_ｗｋ 
Ａ_１１＝Ａ_１１Ｂ_１１＋Ａ_１２Ｂ_２１－Ｂ_１１Ａ_１１－Ｂ_１２Ａ_２１
Ａ_１１＝Ａ_１２Ｂ_２１－Ｂ_１２Ａ_２１　　（１）
Ａ_２２＝Ａ_２１Ｂ_１２＋Ａ_２２Ｂ_２２－Ｂ_２１Ａ_１２－Ｂ_２２Ａ_２２
Ａ_２２＝Ａ_２１Ｂ_１２－Ｂ_２１Ａ_１２　　（２）
Ａ_１２＝Ａ_１１Ｂ_１２＋Ａ_１２Ｂ_２２－Ｂ_１１Ａ_１２－Ｂ_１２Ａ_２２　（３）
Ａ_２１＝Ａ_２１Ｂ_１１＋Ａ_２２Ｂ_２１－Ｂ_２１Ａ_１１－Ｂ_２２Ａ_２１　（４）
（１）と（２）より、
Ａ_１１＝Ａ_１２Ｂ_２１－Ｂ_１２Ａ_２１＝－Ａ_２２　　（５）
（５）を（３）に代入してＡ_２２を消去する。
Ａ_１２＝Ａ_１１Ｂ_１２＋Ａ_１２Ｂ_２２－Ｂ_１１Ａ_１２＋Ｂ_１２Ａ_１１　（６）
Ａ_１２（１－Ｂ_２２＋Ｂ_１１）＝２Ａ_１１Ｂ_１２　　（７）
（５）を（４）に代入してＡ_２２を消去する。
Ａ_２１＝Ａ_２１Ｂ_１１－Ａ_１１Ｂ_２１－Ｂ_２１Ａ_１１－Ｂ_２２Ａ_２１　（８）
Ａ_２１（１－Ｂ_１１＋Ｂ_２２）＝－２Ａ_１１Ｂ_２１　（９）
（７）×Ａ_２１＋（９）×Ａ_１２
２Ａ_２１Ａ_１２＝２Ａ_１１（Ａ_２１Ｂ_１２－Ａ_１２Ｂ_２１）　（１０）
（１０）に（５）を代入する
２Ａ_２１Ａ_１２＝－２Ａ_１１Ａ_１１
Ａ_２１Ａ_１２＝－Ａ_１１Ａ_１１　　（１１）

次に、Ａ_ｗｕＡ_ｕｋの要素を順次に計算する。
Ａ_１ｕＡ_ｕ１＝Ａ_１１Ａ_１１＋Ａ_１２Ａ_２１
（１１）を代入して
Ａ_１ｕＡ_ｕ１＝０　　（１２）

Ａ_２ｕＡ_ｕ２＝Ａ_２１Ａ_１２＋Ａ_２２Ａ_２２
（１１）と（５）を代入して
 Ａ_２ｕＡ_ｕ２＝０　　（１３）

Ａ_１ｕＡ_ｕ２＝Ａ_１１Ａ_１２＋Ａ_１２Ａ_２２＝Ａ_１２（Ａ_１１＋Ａ_２２）
（５）を代入して
Ａ_１ｕＡ_ｕ２＝０　　（１４）

Ａ_２ｕＡ_ｕ１＝Ａ_２１Ａ_１１＋Ａ_２２Ａ_２１＝Ａ_２１（Ａ_１１＋Ａ_２２） 
（５）を代入して
Ａ_２ｕＡ_ｕ１＝０　　（１５）

∴　（１２）（１３）（１４）（１５）から
Ａ_ｗｕＡ_ｕｋ＝０_ｗｋ
（解答おわり）




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追加講：三角形の面積と行列式
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２つの行列の２つの積から元の行列を逆算する

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】
（１）対角行列Ｔと行列の積が交換可能な行列は対角行列です。
（２）行列Ａと行列Ｂの積ＡＢとＢＡとは、同じ固有値を共有する行列です。
（３）また、行列式が０では無い行列で、その固有値の値が重解を持たない行列Ａは、その固有値毎に固有ベクトルを計算して、
 その固有ベクトルを並べた行列Ｐ_ｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｃ_ｕｋに変換できます。
Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋ＝Ｃ_ｕｋ　　　←Ａ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ＝Ｐ_ｓｕＣ_ｕｋＸ_ｋ

また、行列Ｐを用いてそのようにお互いに変換できる行列同士は、同じ固有値を持ちます。
これらの原理を利用して、以下の問題を解くことができます。

【問題】
行列Ａと行列Ｂがあるとき、
行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄとが与えられた場合に、元の行列ＡとＢを求める問題を考えます。
この問題では、行列は全て２行２列の行列であるものとします。

（条件１）この行列ＡとＢは、その行列式が０では無く逆行列が存在するものとします。

 この行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは以下のように、行列Ａ（あるいは行列Ｂ）を用いて互いに変換できます。

行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄは、行列Ａを用いて互いに変換できるので、同じ固有値を持ちます。
　行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄは固有値が共通であるので、この行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄのバラエティを記述するパラメータの数は、行列Ａの４つのパラメータと行列Ｂの４つのパラメータの合計の８よりも２つパラメータが減って、６つのパラメータでＣとＤとのあらゆる場合が記述できます。
　パラメータが減ってしまっているので、行列ＣとＤだけでは情報が不足しているので、それだけでは、行列ＡとＢを完全に再現することはできません。行列ＣとＤのみからでは、行列ＡとＢがパラメータの自由度２で不定になります。
　以下では、その不定性があっても良いものとして、行列ＡとＢを可能な限り逆算してみます。

以下の行列式を計算することで、行列ＡＢ＝Ｃと行列ＢＡ＝Ｄとが共有する固有値と、その固有値を持つ対角行列Ｔを計算することができます。

そして、以下のように、その固有値を持つ対角行列Ｔを行列Ｃに変換する行列Ｐを計算、対角行列Ｔを行列Ｄに変換する行列Ｑを計算します。

 

以下で、式４から行列Ａを与える式６を計算し、式５から行列Ａを与える式７を計算し、式６と式７を連立して行列Ａを消去する計算をします。

ここで、行列Ｑ^－１ＢＰ＝Ｖとします。
この行列Ｖと対角行列Ｔとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Ｔと積が交換可能な行列Ｖは対角行列になります。

 上式８のように、行列Ｂが対角行列Ｖを用いてあらわせます。

同様にして、 式４から行列Ｂを与える式９を計算し、式５から行列Ｂを与える式１０を計算し、式９と式１０を連立して行列Ｂを消去する計算をします。

ここで、行列Ｐ^－１ＡＱ＝Ｗとします。
この行列Ｗと対角行列Ｔとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Ｔと積が交換可能な行列Ｗは対角行列になります。
そして、以下の式１１のように、行列Ａが対角行列Ｗを用いてあらわせます。

 この式８と式１１を用いて行列の積ＡＢ＝Ｃを計算すると、以下の関係式１２を得ます。

すなわち、式１２のように、対角行列Ｔは対角行列ＷとＶの積です。また、対角行列同士の積は交換可能です。
ここで、行列の積ＢＡ＝Ｄを計算すると、式５の関係が満足されています。
　対角行列ＶとＷには、それ以上の制限条件がありません。
すなわち、任意の対角行列Ｖを自由に定めて、式１２を満足するように対角行列Ｗを定めれば、それだけで、ＡＢ＝Ｃを与える式４と、ＢＡ＝Ｄを与える式５が満足されます。

（解答）任意な対角行列Ｖと、式１２を満足する対角行列Ｗを用いて、式１１で行列Ａが与えられ、式８で行列Ｂが与えられる。

【検算】
　任意の対角行列Ｖを用いて行列ＡとＢが与えられるということが、本当に間違いなく成り立っているかを確かめるために、以下の検算をします。

検算のために、行列ＡとＢが以下の場合を考える。

 この場合に、行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄの固有値を以下の様に計算すると、行列ＣとＤの固有値が同じであることが確認できます。

これで対角行列Ｔが定まりました。

次に、行列ＡＢ＝Ｃを対角行列Ｔに変換する行列Ｐを計算します。

次に、行列ＢＡ＝Ｄを対角行列Ｔに変換する行列Ｑを計算します。

次に、対角行列ＷとＶを自由に変えて（ただし式１２を満足させて）、それにより定まるＡとＢが、どれも同じ行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを与えるかどうかを確認します。

（第１の場合）
先ず、対角行列ＷとＶを以下のように定めて行列ＡとＢを計算します。

 この行列ＡとＢは、元の行列ＡとＢとは異なる。
次に、この行列ＡとＢの積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを計算する。

 行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは元どおりになった。

（第２の場合）
次に、対角行列ＷとＶを以下のように定めて行列ＡとＢを計算します。

 この行列ＡとＢは元の行列と同じ行列が得られた。

（第３の場合）
次に、対角行列ＷとＶを以下のように定めて行列ＡとＢを計算します。

 この行列ＡとＢは、元の行列ＡとＢとは異なる。
次に、この行列ＡとＢの積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを計算する。

 行列ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄは元どおりになった。

以上で、両者の積が対角行列Ｔになる任意の対角行列ＶとＷを設定することで、異なる行列ＡとＢの組が得られ、そのいずれの行列ＡとＢの組も、同じ行列の積ＡＢ＝ＣとＢＡ＝Ｄを与えることが確かめられた。

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