双曲線を円に１次変換する

 
大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

【解説】

Ｙ^２－Ｘ^２＝１　（１）
Ｙ^２＋（ｉ・Ｘ）^２＝１　（２）
すなわち、以下のように１次変換することで双曲線を円に変換できる。
Ｙ’＝Ｙ　（３）
Ｘ’＝ｉ・Ｘ　（４）
Ｙ’^２＋Ｘ’^２＝１　（５）
この変換により、直線
Ｙ＝２　（６）
は、同じ式に変換される。
Ｙ’＝２　（７）
その直線が双曲線と交わる２つの交点で双曲線に２つの接線を引いたとき、
その２つの接線同士が交わる点（極）
（０，１／２）
も同じ点に変換される。
しかし、式７の直線と式５の円とは交わらない。
式６の直線と式１の双曲線は交わったのに。

この矛盾は、以下のように考えれば解消する。
式７の直線と式５の円は、
複素数座標の点
（ｉ・√３，２）
で、交わる。
式５の円は、Ｘ’の虚数座標（とＹ’の実数座標）では
双曲線の形をしている。

 

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追加講：三角形の面積と行列式
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