勉強しよう数学3C: 固有ベクトルが同じ行列

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
行列と連立１次方程式

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▷解説
▷対称行列
▷固有ベクトルの数が少ない異常な行列

【解説】
固有値はどうであれ、固有ベクトルが同じ２つの行列を考えます。
特に、ｎ行ｎ列の行列ならｎ個の共通する固有ベクトル
Ｐ_ｔ１
Ｐ_ｔ２
・・・
Ｐ_ｔｎ
が存在する”正常な”行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔを考えます。
（固有ベクトルの数がｎ個より少ない"異常な"行列は、対角化ができないという異常さがあります。ここでは、そういう異常な行列は考えないことにする）
それらのベクトルを固有ベクトルとする行列Ａ_ｓｔは、その固有ベクトルを並べた行列Ｐ_ｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｃ_ｕｋに変換できます。
Ｐ^－１_ｕｓＡ_ｓｔＰ_ｔｋ＝Ｃ_ｕｋ　　　←Ａ_ｓｔＰ_ｔｋＸ_ｋ＝Ｐ_ｓｕＣ_ｕｋＸ_ｋ

同じそれらのベクトルを固有ベクトルとする行列Ｂ_ｓｔも同様に、行列Ｐ_ｔｋを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Ｄ_ｕｋに変換できます。
Ｐ^－１_ｕｓＢ_ｓｔＰ_ｔｋ＝Ｄ_ｕｋ
対角化された行列ＣとＤでは、以下の関係が成り立ちます。
Ｃ_ｕｋＤ_ｋｓ＝Ｄ_ｕｋＣ_ｋｓ　　（１）
なぜなら、ｕ＝ｋ＝ｓの場合以外では、式１の項が０になるからです。そして、以下の式のように、ｕ＝ｋ＝ｓとなるｋ番目の対角成分がＣ_ｋｋＤ_ｋｋになり、その積の値は行列ＣとＤの積の順番には関係しないからです。

式１により、対角行列の掛け算の順序が交換可能（可換）です。
この式１の左からＰ_ｍｕを掛け算して、右からはＰ^－１_ｓｔを掛け算します。
Ｐ_ｍｕＣ_ｕｋＤ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ＝Ｐ_ｍｕＤ_ｕｋＣ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ
Ｐ_ｍｕＣ_ｕｐＰ^－１_ｐｗＰ_ｗｋＤ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ＝Ｐ_ｍｕＤ_ｕｐＰ^－１_ｐｗＰ_ｗｋＣ_ｋｓＰ^－１_ｓｔ
Ａ_ｍｗＢ_ｗｔ＝Ｂ_ｍｗＡ_ｗｔ
∴　行列Ａ_ｍｗと行列Ｂ_ｗｔの掛け算の順序が交換可能（可換）です。

《行列が交換可能ならば固有ベクトルが等しいか？》
　逆に、ｎ行ｎ列の行列に関して、ｎ個の固有ベクトルの数を完備する”正常な”行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔの掛け算の順序が交換可能（可換）な場合に、もし、行列の固有値が全て異なる場合には、行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルｎ個が、そっくりそのまま、行列Ｂ_ｓｔの固有ベクトルでもあります。
（行列Ａの複数の固有値が等しい場合は、行列Ａが行列Ｂと交換可能（可換）であっても、行列Ａの固有ベクトルが行列Ｂの固有ベクトルになるとは限らない）
　そのことを以下で証明します。
Ａ_ｍｗＢ_ｗｔ＝Ｂ_ｍｗＡ_ｗｔ　　（２）
この行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルｎ個を並べた行列をＰ_ｍｕとします。
この式２の左からＰ^－１_ｕｍを掛け算して、右からはＰ_ｔｓを掛け算します。
Ｐ^－１_ｕｍＡ_ｍｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ
＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｗＡ_ｗｔＰ_ｔｓ
Ｐ^－１_ｕｍＡ_ｍｐＰ_ｐｋＰ^－１_ｋｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ
＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｋＰ^－１_ｋｗＡ_ｗｔＰ_ｔｓ
Ｃ_ｕｋＰ^－１_ｋｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ
＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｋＣ_ｋｓ
ここで、Ｃ_ｕｋは対角行列であるから、
その対角された成分（固有値）を順番にα_ｕとすると、
α_ｕＰ^－１_ｕｗＢ_ｗｔＰ_ｔｓ＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓα_ｓ
α_ｕＰ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓ＝Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓα_ｓ
（α_ｕ－α_ｓ）Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓ＝０_ｕｓ　（３）
《ここで、行列Ａ_ｍｗの全ての固有値α_ｕが異なる場合は、》
式３の左辺の行列のｕ行ｓ列のｕ≠ｓである成分を（α_ｕ－α_ｓ）で割り算した結果が式３の右辺の０行列の各成分の値０と等しくなります。
ｕ≠ｓの場合、
Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓ＝０_ｕｓ
すなわち、Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓは対角行列になります。
つまり、行列Ｂ_ｍｐも、行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルの作る行列Ｐ_ｐｓで対角化できます。
行列Ｂ_ｍｐを対角化できる行列Ｐ_ｐｓの各縦ベクトルは、行列Ｂ_ｍｐの固有ベクトルです。
∴　（行列Ａ_ｍｗの全ての固有値α_ｕが異なる場合は）
行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔの掛け算の順序が交換可能（可換）な場合には、行列Ａ_ｍｗの固有ベクトルｎ個が、そっくりそのまま、行列Ｂ_ｓｔの固有ベクトルになります。

よって、行列が単位行列の定数倍以外であって、行列の固有値が重解（重根）を持たないときは、
（１）行列ＡとＢの固有ベクトル（の方向）が同じならば、行列の積ＡＢ＝ＢＡになり、
（２）また、行列の積ＡＢ＝ＢＡならば、行列ＡとＢの固有ベクトル（の方向）が同じになります。

《一方、行列Ａ_ｍｗの固有値α_ｕに同じ値の重複がある場合は、》
ｕ≠ｓであっても、α_ｕ＝α_ｓである（行列Ａの固有値に重複がある）場合は、
Ｐ^－１_ｕｍＢ_ｍｐＰ_ｐｓが０で無く、行列Ｂ_ｍｐが行列Ａの固有ベクトルで作った行列Ｐ_ｐｓで対角化され無くても、行列の積ＡＢ＝ＢＡという交換関係がある。行列ＡにもＢにも共有されている正しい固有ベクトルは、固有値の重複がある行列Ａの固有ベクトルを解くことでは見分けにくくなっている。

《対称行列》
　対称行列では、（固有値が異なる）固有ベクトルは互いに直交する。また、固有値が同じ固有ベクトルも、互いに直交する固有ベクトルに変換できる。そして、対称行列の固有ベクトルは、正規直交系を成す固有ベクトルを選ぶことができる。対称行列Ａと対称行列Ｂが、共通する、（直交系を成す）固有ベクトルによって対角化されている場合は、行列の積ＡＢ＝ＢＡという交換関係がある。
（具体例）
（行列Ａ）
１，１，０
１，０，１
０，１，１
の固有値を計算すると、１，－１，２であり、３つの異なる固有値を持つ。
その固有ベクトル（縦ベクトル）は、

がある。
これらの固有ベクトルは互いに直交している。
（行列Ｂ）
０，１，１
１，０，１
１，１，０
の固有値を計算すると、－１が２つ（重複）と、２とである。
その固有ベクトル（縦ベクトル）は、

があるが、固有値－１に係る２つの固有ベクトル

が直交していない。

ここで、行列ＡとＢには、行列の積ＡＢ＝ＢＡという交換関係がある。
固有値の値が全て異なる行列Ａの固有ベクトル

を使って行列Ｐを作ると、
Ｐ^－１ＡＰが対角行列になり、
Ｐ^－１ＢＰも対角行列になる。

しかし、固有値の値が重複している行列Ｂの固有ベクトル

を使って行列Ｐを作ると、
Ｐ^－１ＢＰは対角行列になるが、
Ｐ^－１ＡＰは対角行列にならない。
ここで、行列Ｂの固有値－１に係る２つの固有ベクトルの、

を線形結合すると、
行列Ａの２つの固有ベクトルの、

が作れる。その固有ベクトルは、互いに直交し、他の固有ベクトルとも直交する。
そのように整えて、行列Ａの固有ベクトルと同じ固有ベクトルにした縦ベクトルで行列Ｐを作るならば、
Ｐ^－１ＢＰも、
Ｐ^－１ＡＰも、対角行列になる。
　そのように、行列Ｂの重複する固有値に係る固有ベクトルを、互いに直交させつつ、かつ、他の固有ベクトルとも直交するベクトルに整える。その固有ベクトルを行列Ａの固有ベクトルと同じにすることで、その固有ベクトルで作る行列Ｐを使って、行列Ａも行列Ｂも対角化させることができる。
（注意）
　重複する固有値を持つ行列Ｂの固有ベクトルは、固有ベクトル同士が直交はするが、行列Ａ用とは異なる方向の固有ベクトル系に整えることもできる。行列Ｂは、その異なる固有ベクトル系を共有する他の行列Ｃとも、行列の積ＢＣ＝ＣＢである交換関係がある。

　なお、行列ＡとＢが共有する固有ベクトルを大きさが１の単位ベクトルにした（正規直交系を成す）固有ベクトルで作った行列Ｐは以下の形になる。

《直交しない固有ベクトルを持つ行列》
非対称な行列Ａ：

は、固有値１の固有ベクトル

を持つ。
また、固有値２の固有ベクトル

を持つ。
行列Aを対角化する行列Ｐは、その固有ベクトルを並べた行列であり、

である。その逆行列Ｐ^ー１は、以下の行列

である。それらを使って行列Ａが対角化でき、
Ｐ^ー１ＡＰが、

という対角行列になる。

【対角行列】
　対角行列の固有ベクトルは（１，０）と（０，１）で、この固有ベクトルをすべての対角行列が共有する。
そのため対角行列同士では行列の積が交換可能である。
（固有値に重複が無い）対角行列との行列の積が交換可能な行列は対角行列の一種である。

【回転行列】

　また、回転行列の固有ベクトルは（ｉ，１）と（ｉ，－１）であって、この固有ベクトルはすべての回転行列が共有する。
そのため、回転行列同士では行列の積が交換可能。
回転行列との行列の積が交換可能な行列は回転行列である。

固有ベクトルを共有する行列は行列の積が交換可能であるという原理は、大学で量子力学を学ぶときなどに利用されます。

【単位行列Ｅ _ｍｗとその他の行列との積の交換関係】
ｎ行ｎ列の単位行列のｎ個の固有値は全て１であって等しい。
この単位行列は、全ての行列と行列の積が交換可能である。
単位行列の固有ベクトルは全ての方向のベクトルが固有ベクトルである。
そのため、単位行列は全ての行列と、固有ベクトルを共有することが可能である。
そのことは、以下の様に言うこともできる。
（単位行列Ｅ_ｍｗの全ての固有値α_ｕが等しい場合）
単位行列Ｅ_ｓｔと任意の行列Ｂ_ｓｔの掛け算の順序がいつでも交換可能（可換）である。その場合に、行列Ｂ_ｍｗの固有ベクトルｎ個を、そっくりそのまま、単位行列Ｅ_ｓｔの固有ベクトルにすることができる。しかし、単位行列Ｅの固有ベクトルのセットのうちには、行列Ｂを対角化できないものもあるのです。

固有ベクトルが一致する関係が成り立つことが本質的に重要です。
２行２列の行列の場合に、行列Ａ_ｓｔとＢ_ｓｔの掛け算の順序が交換可能（可換）な場合に、
Ｂ_ｓｔ＝βＡ_ｓｔ＋γＥ_ｓｔ
となることが試験問題に出されていますが、それは、２行２列の行列で、固有ベクトルが同じ行列がそういう式であらわされるからです。
２行２列の行列でこの関係が成り立つ理由は、
２行２列の行列に限っては、あらゆる対角行列Ｄ_ｓｔは、固有値の異なる対角行列Ｃ_ｓｔを使って、
Ｄ_ｓｔ＝βＣ_ｓｔ＋γＥ_ｓｔ
とあらわすことができることに由来します。
しかし、３行３列以上の行列では、
計算順序が交換可能（可換）な行列同士では、共有する固有ベクトルを持つが、
Ｂ_ｓｔ＝βＡ_ｓｔ＋γＥ_ｓｔという関係は必ずしも成り立たない。その関係は、可換な行列同士に普遍的に成り立つ関係ではありません。

しかしながら、それにより、
「２行２列の行列に限っては、単位行列と足し合わせることで、計算順序が交換できる全ての行列を作ることができる」
という便利な関係があることがわかります。

【楕円をあらわす行列と固有ベクトルが同じ行列を作って楕円の固有ベクトル（軸ベクトル）を計算する】

この行列には、列ベクトル同士の内積が０になる、すなわち、列ベクトルが直交するという特別な性質があります。
そのため、この行列は以下のようにあらわすことができます。

この行列Ｓは、以下のように、ベクトルを、傾き角θの直線に関して対称なベクトルに変換する行列です。

つまり、傾き角度θの直線の方向のベクトル成分はそのままにして、それに直交する方向のベクトル成分には－１を掛け算する変換をする行列です。

傾き角度θの直線の方向のベクトルが第１の固有ベクトルであり、それに直交する方向のベクトルが第２の固有ベクトルです。

それらの固有ベクトルは、以下のように計算することができます。

こうして求めた固有ベクトルは、元の、楕円を与える行列Ｆの固有ベクトルでもあります。

　こうして、楕円の行列Ｆの固有ベクトル、すなわち、楕円の軸方向のベクトルが求められた。

《固有ベクトルの数が行列の列の数のｎ個より少ない"異常な"行列Ａの場合》
　その行列Ａは対角化できない（三角化はできる）という異常さがあります。しかしながら、その異常な行列Ａも、固有ベクトルを共有する行列Ｂ（同じく異常な行列）との間に、（ＡＢ＝ＢＡ）という交換可能（可換）の関係を持ちます。（相手が正常な行列の場合は、単位行列Ｅとは可換）
（例）固有値が１の重根を持つ行列Ａ：