バウムクーヘン積分と２重積分

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

積分の応用

【解説】
　バウムクーヘン積分により、立体の体積を計算する積分技術が教えられています。
　しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

例えば、以下のようにバウムクーヘン積分の式が与えられることを示す問題が東大の入試問題に出されたことがあるので、バウムクーヘン積分を当たり前の式として使ってはいけないと言う意見がありました。

【問題】
ｆ（ｘ）＝πｘ^２ｓｉｎ（πｘ^２）とする。
ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた図形をｙ軸のまわりに回転させてできる立体の体積Ｖは

で与えられることを示し、この値を求めよ。
（問題おわり）

　バウムクーヘン積分に言及して問題を解いても、そのバウムクーヘン積分を表現する数学の言葉で記述されないので、バウムクーヘン積分の概念を用いた解答が軽視されることもあるらしいです。
　バウムクーヘン積分をあらわす数学の言葉（タブー？）は、
「２重積分」です。

　２重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー（禁じ手）では無く、高校生が一旦２重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
　そのため、以下では、バウムクーヘン積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「２重積分」を使って計算する解答例（このように書けば合格点をもらえると思う）を示します。
　先に例示した東大の入試問題の前半部分に、２重積分を使って解答してみます。

（解答はじめ） 

 　求める立体の断面を上図に示す。ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された１単位を微小領域①とする。

　求める立体は、微小領域①をｙ軸のまわりに１回転して得られる細いドーナツ状の立体ΔＶを集合させた立体である。

細いドーナツ状の立体ΔＶの体積をΔＶとすると、

 ΔＶ＝（２π・ｘ）（ΔｘΔｙ）

である。

　微小領域①を断面に持つ細いドーナツ状の立体ΔＶを縦方向と横方向につないで、その断面がｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの０≦ｘ≦１の部分とｘ軸とで囲まれた領域を埋めるように集合させる。
その集合の体積Ｖは、
以下の式のように、細いドーナツ状の立体ΔＶの体積を、 一定のｘについてｙ方向に積分した上で、
更にｘ方向に積分する２重積分で計算できる。

  （解答おわり）

（補足）
　上記の式の１行目の式で、一番内側の積分∫(□)dyでの被積分関数(□)は、ｙで積分する場合には定数と扱える。なぜならば、その外側の積分がｘによる積分なので、外側の積分を未だ開始していない時点では、変数ｘの値は変化しないで所定値に留まっているから、ｘは定数と扱ってｙで積分している。そのため、被積分関数(□)＝定数に、変数ｙの積分範囲の長さを掛け算した値を計算して２行目の式が導かれている。

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傘形積分と２重積分

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強
積分の応用

【解説】
　傘形積分により、軸の回りに平面図形を回転させた立体の体積を計算する高度な積分技術が教えられています。
　しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

　傘形積分を勉強することはほめられるべきことと考えますが、現実には、その知識が試験問題の解答ではマイナス？になってしまうようです。
　傘形積分に言及して問題を解いても、その傘形積分を表現する数学の言葉が教えられず。傘形積分の手法が数学の言葉で記述されないので、傘形積分の概念を用いた解答が理解されないというのがこのマイナス問題の原因のようです。
　傘形積分をあらわす数学の言葉は、高校生には教えないことにしているタブーの一種と考えられます。
　傘形積分を表現する数学の言葉（タブー？）は、「２重積分」です。

　２重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー（禁じ手）では無く、高校生が一旦２重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
　そのため、以下では、傘形積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「２重積分」を使って計算する解答例（このように書けば合格点をもらえると思う）を示します。

【例題】
　放物線ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘとで囲まれた図形を、直線ｙ＝ｘのまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。

（解答はじめ） 

　求める立体の断面を上図に示す。放物線ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘとで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された１単位を微小領域①とする。

　求める立体は、微小領域①を直線ｙ＝ｘのまわりに１回転して得られる細いドーナツ状の立体（下図）を集合させた立体である。

 　微小領域①を断面に持つ細いドーナツ状の立体を縦方向と横方向につないで、その断面が放物線ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘとで囲まれた領域を埋めるように集合させる。その集合の体積Ｖは、以下の式のように縦方向に積分した結果を更に横方向に積分する式（２重積分の式）であらわせる。

（２重積分とは）
　２重積分とは、１回目の積分変数で計算した後に２回目の積分変数で計算する積分です。すなわち、１回目の積分計算の結果が２回目の積分計算で使われます（以下の最初の式のような形であらわされます）。２重積分では、１回目の積分で幅ｄｘのｙ方向の細長い範囲を積分し、その積分範囲を２回目の積分で変数ｘの微小量のｄｘだけずらしつつ積分することで全領域を過不足無く網羅して積分するようにします。そのために、１回目の変数ｙによる積分計算では、２回目の積分変数ｘを一定値に保って計算します。いわば、以下の最初の式では、括弧の右側の外に付けたｄｘが、括弧の中の式をｘを変えないように金縛りにかけています。

（積分の下限と上限については、高校生の間は、問題を難しくしないために、ｘもｙも、小さい値から大きい値まで積分する場合だけを考える）

次に、括弧の中のｙによる積分を 、ｒ による積分に変換する。
その変換の際に、微小量ｄｙをｄｒに変換する際に掛け算するべき係数を求める必要がある。
　その括弧中でのｙによる積分では、ｘの値を一定の値に固定して積分計算している。そのため、ｒによる積分に変換する場合でも、ｘの値を一定に保ちつつ ｒ で積分する。
　よって、以下で、ｘを一定に保つ条件を守ってｙが微小量ｄｙ変化する場合の、ｘを一定に保つ条件を守って半径 ｒ が変化する微小量ｄｒを計算する。
｜ｒ｜＝｜ａ_ｘｘ＋ａ_ｙｙ｜
であるので、
｜ｄｒ｜＝｜（ａ_ｘｘ＋ａ_ｙ（ｙ＋ｄｙ））－（ａ_ｘｘ＋ａ_ｙｙ）｜
　　　　＝ ｜ａ_ｙ・ｄｙ｜
になる。それゆえ、
｜ｄｙ｜＝｜ｄｒ／ａ_ｙ｜
の関係がある。よって、
 ｜ｄｙ｜は｜ｄｒ／ａ_ｙ｜
に置き換えて積分することができる。

（高校生の間は、問題を難しくしないために、ｒについての積分についても、ｒが小さい値から大きい値まで積分する場合だけを考える。この積分では、ｙが増すとｒが減るので、ｒの積分範囲は、ｙが最大になった場合のｒの値＝０からｒ_２までｒで積分する。）

さらに計算を続けます。

   

（この計算の意味の説明）
　（以下の説明文と図とは解答用紙に書かないでも良いです）
　ここまでの計算は、微小領域①を回転させた立体をｙ方向に積み重ねた立体の体積を計算しています。すなわち、以下のような形の薄い傘の体積を計算しています。

 （傘を軸を中心にバウムクーヘン積分すると、円板の体積になる）

　ここで、２重積分のパラメータ変換によって、
｜ｄｙ｜＝｜ｄｒ／ａ_ｙ｜
という関係があり、ｙによる積分を ｒ による積分に変える、積分のパラメータを変換する場合に出てくる係数（１／ａ_ｙ）が得られます。この係数を用いて、厚さｄｘの傘の体積が、厚さ ｄｘ・｜１／ａ_ｙ｜の円板に等しくなる、という関係があります。
このパラメータを変換する際に現れる係数（１／ａ_ｙ）は傘形積分において非常に重要です。
　２重積分の計算において、この係数を間違えたら、計算手順の点数がもらえないと思います。傘形積分の概念だけを用いて計算する際にも、この係数を間違えたら、計算手順の点数がもらえないと思います。


さらに、計算を続けます。

 （解答おわり）

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