楕円と円の接点

「大学への数学ⅢＣ」の勉強

【研究問題】
座標原点を中心にする楕円

と、円Ａ

とが接する接点Ｐにおける接線を、 
接点Ｐから円Ａの中心に向かう単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）に垂直な直線の式、

であらわされるものとした場合に、
（１）その接線と楕円の中心の距離ｍの値を求めよ。
（２）円Ａの中心の座標Ａ（ｘ_１，ｙ_１）の値をｘ_ｃ，ｙ_ｃ，ｍ，ｒであらわす式を求めよ。

（解答）
以下では、この問題を、単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）の値が先に分かっている場合から始めて解く。

楕円

に接する直線は、単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）に垂直な直線であり、接点：

での接線の式は、楕円の接線の公式により、

である。
この接線の式が式３と等しいとして、以下の式４を導く。

式４の座標値を式３に代入して以下の計算をすることで式５が得られる。

式５により、楕円の中心と直線との距離ｍをｘ_ｃとｙ_ｃから計算することができる。
ｍの値は、正の値と負の値との２つです。
式３のｍが、この式５で得られる。

円Ａの中心の座標Ａ（ｘ_１，ｙ_１）の値は以下の式であらわせる。
 
このように、最初に、楕円への接線に垂直な単位ベクトルＣ（ｘ_ｃ，ｙ_ｃ）がわかれば、他のパラメータが簡単に計算できる。

　しかし、他のパラメータから、ｘ_ｃ，ｙ_ｃを計算しようとすると簡単ではありません。
例えば、ｘ_ｃを他のパラメータから計算する式を、以下で求めてみます。
式６ａを変形する。

ｍに式５を代入してｍを消去する。

単位ベクトルＣの成分の関係式

を用いて、ｙ_ｃをｘ_ｃであらわす。

この式はｘ_ｃに関する４次方程式である。
すなわち、ｘ_ｃを他のパラメータから計算しようとすると、４次方程式の解を求める問題に帰着する。
この４次方程式の解は簡単には解けない。その解を得るには、ＥＸＣＥＬ等を利用して近似解を計算するしかない。
よって、ｘ_ｃを他のパラメータから計算する問題は入学試験などの試験には出題されない。
（たまたま簡単に解ける４次方程式になる場合だけが試験に出題され得るだろう。）

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楕円と直線の接点

「大学への数学ⅢＣ」の勉強

【問１】座標原点を中心にする楕円

と、直線

とが接する場合のその接線と楕円の中心の距離ｍの値を求めよ。


（以下では、この問題を解くための、覚え易い形に変形した公式を示す）
（難しい形の公式は、単純な形に置きかえて覚え易くするのが数学のコツです。）

この問題は、円の場合は、以下のようにして解けました。

この直線の式のｘとｙの係数は単位ベクトルであらわしています。
検算してみると、

になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。
その直線の式において、（単位ベクトル）と（ベクトル（ｘ，ｙ））との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
（その理由は単位ベクトルと直線上の点（ｘ，ｙ）の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル（直線に垂直）への正射影の長さになるからです。また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点（ｘ，ｙ）を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。）

すなわち、単位ベクトルと直線上の点（ｘ，ｙ）の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式のｍが、
直線の座標原点からの距離です。
その距離ｍが円の半径に等しい場合が、
単位ベクトルＣに垂直な直線が円に接します。

【楕円の場合の、傾きが定まっている直線が楕円に接する条件】
　楕円の場合を、円の場合に対応させて、結論だけを整理して書くと以下の図のようになります。

【上の図の式の意味の説明】
　単位ベクトルＣ（ｇ，ｈ）に垂直な直線が楕円

に接する場合の、
楕円の中心と直線との距離ｍを計算しました。
その計算の結果、単位ベクトルＣ（ｇ，ｈ）のｘの項ｇとｙの項ｈに関して、
ｍ^２＝（ｇ・ａ）^２＋（ｈ・ｂ）^２ 　（式１）
になりました。
ｍの値は、正の値と負の値との２つです。
その計算結果のｍを使って、楕円に接する直線は以下の式になります。
ｇ・ｘ＋ｈ・ｙ＝ｍ　　　　（式２）

この式を（ｈが０でない場合に）変形した以下の式が参考書に公式として書いてありますが、
その公式を覚えにくい人は、上の式１と２を公式として覚えて使ってください。
（他の参考書の公式）


なお、式２の直線が楕円に接する接点の座標は、
Ａ（ｇ・ａ^２／ｍ，ｈ・ｂ^２／ｍ）　　　（式５）
と、
Ａ’（－ｇ・ａ^２／ｍ，－ｈ・ｂ^２／ｍ）　（式６）
です。

【楕円の接線の良く知られた公式】
また、楕円上の点Ａ（ｐ，ｑ）で楕円に接する直線の公式は、以下の式です。
ｐ・ｘ／ａ^２＋ｑ・ｙ／ｂ^２＝１　　　（式７）
この公式は、円の接線の公式と同様に、
楕円の式のｘ又はｙの２乗の項の一方のみｘ およびｙを残した式です。

【式１を式７から導出する方法】
先ず、この式７を、単位ベクトルのｘの項ｇとｙの項ｈを用いた式２の形に変形します。
式７を、ｘとｙの係数が単位ベクトルＣ（ｇ，ｈ）の要素であらわされる式（その式の右辺の定数項の値はｍになる）に変形すると、そのｇとｈは以下の式になります。
ｇ＝（ｐ／ａ^２）／√｛（ｐ／ａ^２）^２＋（ｑ／ｂ^２）^２｝　（式８）
ｈ＝（ｑ／ｂ^２）／√｛（ｐ／ａ^２）^２＋（ｑ／ｂ^２）^２｝　（式９）
すなわち、式２の左辺は式７の左辺を、
ｓ＝√｛（ｐ／ａ^２）^２＋（ｑ／ｂ^２）^２｝　　　（式１０）
で割り算した形の式です。
そのため、式２の右辺のｍは、式７の右辺の１を式１０のｓで割り算した以下の式になります。
ｍ＝１／√｛（ｐ／ａ^２）^２＋（ｑ／ｂ^２）^２｝
ｍ^２＝１／｛（ｐ／ａ^２）^２＋（ｑ／ｂ^２）^２｝
＝｛（ｐ／ａ）^２＋（ｑ／ｂ）^２｝／｛（ｐ／ａ^２）^２＋（ｑ／ｂ^２）^２｝
この式は、式８のｇと式９のｈを使ってあらわすと、以下の式になります。
ｍ^２＝（ｇ・ａ）^２＋（ｈ・ｂ）^２ 　（式１）
この式は、求める式１です。
このように、式７から式１が導けました。

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