原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法

【解説】
直線を座標原点を中心に回転させた場合の楕円の方程式を考える。
　先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。

この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。

 ここで、楕円の軸方向のベクトルｇとｈを考えます。
この軸ベクトルｇとｈを使って楕円上の点Ｐの位置ベクトルをあらわすことにすると、以下の式が成り立つ。
そして、楕円の式を変形して、楕円の式の意味を考える。

 回転した楕円の方程式を、楕円上の点Ｐの位置ベクトルＰに対するべクトルの関数Ｆを使って、そのベクトルＦと位置ベクトルＰとの内積が１になる方程式であると解釈します。
　そのベクトル関数Ｆは、以下の式のように、楕円の２つの軸方向の各ベクトルを、それぞれ異なる倍率１／ａ^２と１／ｂ^２倍のベクトルに拡大するベクトル関数であると解釈できます。 

楕円をあらわすベクトル方程式のベクトル関数ＦがＸＹ座標方向の単位ベクトルｘとｙに対してはどのように作用するかを調べてみます。

　上の式のように、単位ベクトルｘに関するベクトルＦと単位ベクトルｙとの内積は、単位べクトルｙに関するベクトルＦと単位ベクトルｘとの内積に等しい関係があります。

　次に、下の図のように、ベクトルＰを、単位ベクトルｘのＸ倍のベクトルと、単位ベクトルｙのＹ倍のベクトルの和であらわします。

そのベクトルＰに関する楕円の方程式を以下のように計算します。

すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Ｆを使って、以下の式であらわした。
 
このように、系数Ａ，Ｂ，Ｃを使ったＸ座標とＹ座標の関数で楕円があらわされる。

【問１】
以下の方程式で表される図形が、回転した楕円であるか、回転した双曲線であるか、２本の直線であるかを判定する条件を求めよ。

 

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

【問２】

このような形で原点の回りに回転した楕円の方程式が与えられたとき、その楕円の回転軸の方向を計算する公式を求めよ。

　この問題を解くために、ベクトル関数Ｆは、Ｘ座標の方向の単位ベクトルｘと、Ｙ座標の方向の単位ベクトルｙを、系数Ａ，Ｂ，Ｃを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考える。

　ここで、このべクトル関数Ｆは、単位ベクトルｘに関するベクトルＦと単位ベクトルｙとの内積は、単位べクトルｙに関するベクトルＦと単位ベクトルｘとの内積に等しい関係があるので、その関係を満足するように関数の形を確定しました。

　こうしてベクトル関数Ｆの形が定められた。
　次に、このベクトル関数Ｆによってベクトルの方向が変えられないベクトルｇとｈを求める。
　そのベクトルｇとｈが楕円の軸方向のベクトルであり、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしている。

　その軸方向のベクトルｇとｈの、ｘ座標軸と成す角度θのタンジェントｔａｎθを求めよ。

　できれば、この問題を自力で解いて欲しい。 その方が、楽しく数学を学べると思いますので。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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美しい数学：美しい問題の種

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強 

【問１】　以下の式を因数分解せよ。
ｘ^４－７ｘ^２＋１

【美しい計算方法の例】

以下の計算方法は解き方が美しいです。
そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれません。

【別解：苦労する解き方】
多くの人は以下のように計算するのではないかと思います。
しかし、以下の計算方法はとても苦労し、美しくありません。

ここで二重根号が出てきました。
これは、以下の様に計算して簡単な根号の和に変換します。
（１）最初の２項にある二重根号の簡単化

（２）最後の２項にある二重根号の簡単化

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美しい数学：平方完成の検算

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【検算の参考例】
以下の式を平方完成して、その検算の１例を示します。

上の式は、以下のように検算できます。

この検算方法が優れている点は以下の点にあります。
２つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。
（１）検算の計算が間違っている。
（２）検算された対象の式の計算が間違っていた。
このどちらなのかを決定しなければなりません。
  しかし、元の式の計算の誤り箇所がなかなか発見できず、（１）の可能性が疑われる場合があります。
その場合は、以下のように代入する数値を変えて、もう１度検算すると良いです。そうすると検算の誤りも検算することができます。

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微分を利用して平方完成する公式

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】
以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。

上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。

（例題１）
以下の式を平方完成します。

　この解の方針に従って、以下のように計算します。

（第２の場合）
　ｘの２乗の項が２つ以上ある場合は、以下のように計算します。

　このように計算すると、平方完成の計算を、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

（普通の平方完成の計算の方が速い場合）
　しかしながら、以下の式の場合のように、既に式がきれいな式に展開済みの場合は、
普通の平方完成の計算の方が速く答えを計算できます。

文字係数ｋが混ざっている式の場合は、通常の平方完成の計算の方が楽です。

　どの計算方法が最も速く答えを出せるか、状況に応じて使い分けてください。

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美しい数学：放物線と直線の交点

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】

　上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。

【交点の座標ｘの計算方法】
　先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のｘ座標ｓを計算します。

　次に、そのｘ＝ｓの位置での放物線のｙ座標と直線のｙ座標とを計算します。

（放物線の係数）（ｘ－ｓ）^２＝（直線のｙ座標）－（放物線のｙ座標）
の式により、交点の座標Ｘが求められます。

　この式は、直線と放物線の式を連立させて解くことで得られる式と同じ式です。
方程式を解くよりも以上のやり方で計算する方が、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

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美しい数学：ベクトルの内積の不等式

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【覚えてください】

　上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。
　ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの不等式になります。

【問題】
　固定ベクトルａに対して、任意のベクトルｐに対して以下の方程式を成り立たせるベクトルｂの解が必ず存在するものとする。
　この条件を満足するベクトルａの範囲を求めよ。

【解答】　

　この式の解が存在するためのベクトルａの範囲は上の式で与えられる半径１以下の円内の点です。
（解答おわり）

　この問題の出題意図は、以下のように考えられます。
　ベクトルの問題に限らず、数学の複雑な問題はコンピュータを利用して解きます。
　そのとき、コンピュータを使用する人間に求められる大切な能力は、
（１）コンピュータが正しく答えを出せるような、コンピュータが解ける問題をコンピュータに与えているかどうかの判断力。
（２）コンピュータの出した答えが間違っていないか、その答えの概要を予測する能力。
です。
　この問題は、その「答えの予測力」を問う問題です。
　出題者の意図通りに、「答えの予測力」を示した解答を書くようにしましょう。

　ベクトルａが半径１の円の外にある場合における「答えの予測」も、以下のように予測できるようになりましょう。

ベクトルａが半径１の円の外にある場合は、上の式のように、解を与えるベクトルｐが制限されます。この条件が満足されないベクトルｐに対してはベクトルｂをどのように選んでも方程式を満足させることができず、解が存在しません。

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美しい数学：計算のメリハリ

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

（計算で注意する点）
　普段は解ける問題が、試験会場では以下に示す計算のメリハリを忘れて、問題が解けなくなる人がいます。
　試験の場で、計算のメリハリを忘れることのないように、普段から計算のメリハリを意識するようにしましょう。

【問１】

　上図で、Ｙ軸上の点Ａを中心にする円が左右の双曲線に点Ｂと点Ｃで接しています。
この場合に、三角形ＡＢＣが正三角形になるような円の中心のＹ座標ａが存在する条件を求めよ。

【解答】
　以下のように計算していきますが、以下に示すように、言われなくても常に、方程式の解が存在する条件に注意して計算にメリハリを付けるように心がけましょう。

　この式の解が存在するための条件は上の式ですが、
メリハリの無い計算をしていると、この上の式があらわれたときに、その解の存在条件を考えずに、この式が解のカギであるという式の意味を見落としてしまうことがあります。
　この意味を見落として、この式を素通りして、他の式の計算に迷い込んで答えが得られない泥沼に陥る恐れが出てきます。
　そのため、メリハリのある計算で、常に解の存在条件を（言われなくても）意識して計算するようにしましょう。

ただし、ｂ≠０

これで、三角形ＡＢＣを正三角形にできる条件が得られました。
（解答おわり）

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