美しい数学の関係：三角形のベクトル計算で外心を原点にする

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

【問い】
三角形の重心をＧとすると、以下の辺の関係が成り立つことを証明せよ。

【解答の方針】
　この問題をベクトルの計算で解く際に、以下のように、外心を原点にしたベクトルで計算します。
　そうすれば比較的に解きやすくなります。

【解答】
（証明）

（証明おわり）

【別解】
以下のように計算しても解くことができます。
ただし、この計算はかなり技巧的になります。

（証明おわり）

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外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。

（既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる）

【証明１】
　このベクトルＯＨが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。

ここで、ベクトルｈがベクトルａである場合には、ベクトルＡＨが０ベクトルになってしまい、ベクトルＡＨの方向が定まらない、その場合は、ベクトルＢＨとベクトルＣＡとが直交することを示すことに替える。

ここで、ベクトルｈがベクトルｃである場合には、ベクトルＣＨが０ベクトルになってしまい、ベクトルＣＨの方向が定まらない、その場合は、ベクトルＢＨとベクトルＣＡとが直交することを示すことに替える。

　以上の計算により、ＣＨがＡＢに垂直で、かつ、ＡＨがＢＣに垂直なので、Ｈは三角形ＡＢＣの垂心である。
（証明１おわり）

【証明２】
　先ず、以下の式が成り立つ。

次に、以下の式で点Ｈをあらわす。

先ず、点Ｈ≠点Ａである場合を考える。

次に、点Ｈ≠点Ｂである場合を考える。

次に、点Ｈ≠点Ｃである場合を考える。

　ここで、点Ｈ＝点Ａの場合は、点Ｈ≠点Ｂ，かつ、点Ｈ≠点Ｃになるので、上記の３つ式のうちのベクトルＨＢの式とベクトルＨＣの式との２つの式から、点Ｈが２つの垂線の交点になる。
　点Ｈ＝点Ｂの場合は、点Ｈ≠点Ｃ，かつ、点Ｈ≠点Ａになるので、上記の３つ式のうちのベクトルＨＣの式とベクトルＨＡの式との２つの式から、点Ｈが２つの垂線の交点になる。
　点Ｈ＝点Ｃの場合は、点Ｈ≠点Ａ，かつ、点Ｈ≠点Ｂになるので、上記の３つ式のうちのベクトルＨＡの式とベクトルＨＢの式との２つの式から、点Ｈが２つの垂線の交点になる。
　以上の結果、いかなる場合でも、点Ｈが２つの垂線の交点になるので、点Ｈは垂心である。
（証明２おわり）

（補足１）
　この問題は、外心を原点にした場合に、垂心の位置ベクトルが、各頂点の位置ベクトルの和で計算できる事を示しています。

（補足２）
　この式から、頂点Ａの位置ベクトルに対する垂心Ｈの位置ベクトルが下図の関係にある。

すなわち、垂心の位置Ｈは、頂点Ａの位置に対して、外心Ｇから線分ＢＣまでの垂直ベクトルの２倍だけ下がった位置にある。

（補足３）
　この、垂心の位置ベクトルの式は、点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルの係数の和が１ではない（位置ベクトルの公式を満足していない）ように見える。しかし、この式は、以下の図の、外心の位置Ｇを含む位置ベクトルの式であらわせ、位置ベクトルの公式を満足する。


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３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

以下の３次方程式の１つの根がわかっているときに
残りの２つの根を計算する問題があります。
　この問題を自分で解く計算を間違えないために、その計算の答えを覚えておいて、その答えと照合して検算できるようになりましょう。
以下に、その答えを整理して書きましたので覚えてください。

【問題】
ｙ＝ｘ^３－ａｘ　と、　ｙ＝ｈ　との１つの交点のＸ座標の値がγである場合、他の交点のＸ座標の値αとβを求めよ。

　この解の式は、ｙの微分（ｙ’）を使ってあらわせます。
　この解を求める計算には微分の計算はしていませんでしたが、２根の中点のｙの微分が０になる場合は、その中点で重根を持つ（３次曲線がｘ軸に平行な直線と接する）関係をあらわすという意味を持っています。
　この式は、そういう美しい数学の関係をあらわしていて興味深いです。
　（こういう美しい数学の関係ばかりを入学試験に出す大学もあるようです。そういう大学の入学試験対策は、数学の美しい部分を探して覚える勉強が有効だと思います。）

以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。 

３乗の項にｃが掛かっている３次方程式の答えは以下のようになります。

次に、以下の３次方程式の、１つの根がわかっている場合の残りの根を計算します。

以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。

３乗の項にｃが掛かっている３次方程式の答えは以下のようになります。

一般的な３次方程式の解は以下の式であらわせます。

以下で、微分の計算により、解に微分の式が用いられることを証明します。
以下では、ｃ＝１の場合を計算します。 

（証明おわり）

（解の続き）
以上の計算の結果、平方根の式を使って、γ以外の２根を与える式が以下の式で得られた。

しかし、これで解答は終わらず、この式から根号を外すことができる。
　根号を外す方法を以下の式の場合を例にして示す。

この式３の根の１つをγとする。
それ以外の根のαとβは以下の計算で得られていた。

この式の平方根の式は以下の式である。

この根号は、
「平方根の式を多項式に変換する問題」
のページの計算をすることで外すことができる。
その結論は、以下の式であらわされる。

（解答おわり）

【別解】
　上の解以外に、３次方程式の１つの根を用いて他の根をあらわすることができます。
以下の式１の根の１つがαである場合、そのαを使って、他の根を以下ようにあらわせました。

 ここで、αを以下の式４のｋに置き換えてあらわす。
なぜこの式のｋに置き換えるかという根拠は、全くの偶然で、そうすれば良いことが分かったからです。

 この式６は、ｋを以下の式ｓに置き換えると、式１と同じ式８になります。そのためｓは式１の根の１つ（それをβとする）をあらわします。

これで２つの根が求められたので、残りの根γは、式１の根と係数の関係を使って、以下の式で計算できます。

 このように１つの根αが分かれば、式１の他の根が式１０と式１２で計算できました。

（解答の続き）
　以上で求めた式β，γは、以上の分数式１０，１２に限らず、式３を使うことで、普通の多項式に変換できます。

（γの分数式の変換）

 （βの分数式の変換）

結果を整理し以下の解が得られた。

（解答おわり） 
 
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４乗すると負の単位行列になる行列

大学への数学Ⅲ＆Ｃの勉強

４乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、４乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

以下で、この行列Ｍの２乗から４乗まで順に計算していきます。

この４乗の結果が負の単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。

以下で、係数が実数の解だけを求めます。

この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。

以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。

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