2014年1月28日火曜日

3乗すると単位行列になる行列

大学への数学Ⅲ&Cの勉強

3乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、3乗すると単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

3乗すると単位行列になる行列Mを、これらの行列要素の和に分解して考えます。
 
この3乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、この式を解きます。
(注意)以下の計算で、gのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数gが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Hが0行列であってMがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。

この式①と②が求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。






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